내부곱(內部곱, 영어: interior product)은 미분기하학에서 정의되는 대수적 미분 연산으로, 매끄러운 다양체 위에서 벡터장과 미분 형식 사이에 작용하여 미분 형식의 차수를 1 감소시킨다. 외부곱(exterior product)의 개념에 대비하여 붙여진 명칭이며, 내적(inner product)과는 혼동해서는 안 되는 별개의 연산이다. 내부곱은 내부 도함수(interior derivative), 내부 곱셈(interior multiplication), 삽입 연산자(insertion operator), 축약(contraction) 등으로도 불린다.
정의
매끄러운 다양체 M 위의 벡터장 X가 주어졌을 때, 내부곱 ι_X는 p-미분 형식의 공간 Ω^p(M)에서 (p-1)-미분 형식의 공간 Ω^(p-1)(M)으로 가는 사상으로 정의된다. 구체적으로, p-미분 형식 ω와 임의의 벡터장들 X_1, …, X_{p-1}에 대하여
(ι_X ω)(X_1, …, X_{p-1}) = ω(X, X_1, …, X_{p-1})
가 성립한다. 즉, 내부곱은 미분 형식의 첫 번째 인자에 벡터장을 대입하여 축약하는 연산이다. ω가 스칼라장(0-형식)인 경우에는 관례적으로 ι_X ω = 0으로 정의한다.
1-미분 형식 α에 대해서는 내부곱이 단순히 벡터장과의 쌍대성(dulaity pairing) 축약으로 주어진다. 즉,
ι_X α = α(X) = ⟨α, X⟩
가 성립한다.
성질
내부곱은 차수 −1의 반미분(antiderivation)으로, 다음과 같은 등급 라이프니츠 규칙(graded Leibniz rule)을 만족한다. α가 p-형식, β가 q-형식일 때,
ι_X(α ∧ β) = (ι_X α) ∧ β + (−1)^p α ∧ (ι_X β)
가 성립한다. 이 관계식은 내부곱이 선형성과 라이프니츠 규칙을 동시에 만족하는 연산임을 보여준다.
또한 두 벡터장 X, Y에 대하여 다음의 반대칭 관계가 성립한다.
ι_X ι_Y ω = −ι_Y ι_X ω
이로부터 ι_X ∘ ι_X = 0이 도출되는데, 이는 d ∘ d = 0을 만족하는 외미분(exterior derivative)의 성질과 유사하다.
카르탕 마법 공식
내부곱은 외미분과 리 미분(Lie derivative)을 연결하는 카르탕 공식(Cartan's magic formula, 또는 카르탕 항등식·카르탕 호모토피 공식)에서 핵심적인 역할을 한다. 벡터장 X와 미분 형식 ω에 대하여
L_X ω = d(ι_X ω) + ι_X dω
가 성립한다. 여기서 L_X는 리 미분, d는 외미분을 나타낸다. 이 공식은 외미분과 내부곱 사이의 쌍대성을 보여주며, 심플렉틱 기하학과 일반 상대성 이론 등에서 중요한 의미를 가진다. 이 공식은 프랑스의 수학자 엘리 카르탕(Élie Cartan)의 이름에서 유래한 것이다.
외부대수에서의 일반화
내부곱은 벡터 공간 위의 외부대수(exterior algebra)에서 임의의 다중벡터(multivector)에 대해서도 정의될 수 있다. 오른쪽 내부곱(우축약, right contraction)은 호지 쌍대를 이용하여 정의되며, 같은 등급을 가지는 두 다중벡터에 대해서는 내적(inner product)과 일치한다.
관련 개념
내부곱은 미분 형식의 이론에서 지위를 가지는 기본 연산으로, 카르탕 미적분(Cartan calculus)의 일부를 구성한다. 캡 곱(cap product), 텐서 축약(tensor contraction), 내적(inner product) 등과 개념적으로 관련되어 있다.
내부곱은 위키백과, 수학 서적 등에서 공신력 있게 다루어지는 확립된 수학 개념으로, 미분기하학을 다루는 표준 교재들(예: Theodore Frankel의 《The Geometry of Physics》, Loring W. Tu의 《An Introduction to Manifolds》 등)에서 정의와 성질이 서술되어 있다.
