내부 (위상수학)

정의

내부( interior)는 위상수학에서 주어진 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 위상공간 $X$의 부분집합 $A \subseteq X$에 대하여, $A$의 내부는 $\operatorname{int} A$ 또는 $A^\circ$로 표기한다.

구체적으로, 내부는 다음 조건을 만족하는 점 $x \in X$들의 집합이다:

$x \in U \subseteq A$인 열린집합 $U \subseteq X$가 존재한다.

이러한 점 $x$를 내부점( interior point)이라고 한다.

동등한 정의로, 내부는 $A$에 포함된 가장 큰 열린집합이다. 즉, $A$의 모든 열린 부분집합들의 합집합과 같다.

성질

열린집합과의 관계

• $A$가 열린집합일 필요충분조건은 $A = \operatorname{int} A$이다.
• $\operatorname{int} A$는 항상 열린집합이며, $A$의 최대 열린 부분집합이다.

폐포(closure)와의 관계

내부와 폐포는 쌍대(dual) 개념이다:

$$ \operatorname{int} A \subseteq A \subseteq \operatorname{cl} A $$

$$ \operatorname{int} A = X \setminus \operatorname{cl}(X \setminus A) $$

위상공간 $X$는 임의의 부분집합 $A$에 대하여 다음과 같이 분할된다:

$$ X = \operatorname{int} A ;\sqcup; \partial A ;\sqcup; \operatorname{ext} A $$

(내부 $\sqcup$ 경계 $\sqcup$ 외부)

집합 연산과의 관계

• 유한 교집합 보존: $\operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int} A \cap \operatorname{int} B$
• 무한 교집합은 보존하지 않음: $\displaystyle \operatorname{int}\bigcap_{i\in I} A_i \subseteq \bigcap_{i\in I} \operatorname{int} A_i$
• 합집합은 일반적으로 보존하지 않음: $\displaystyle \operatorname{int}\bigcup_{i\in I} A_i \supseteq \bigcup_{i\in I} \operatorname{int} A_i$

예시

실수선 $\mathbb{R}$ (표준 위상)에서:

같이 보기

• 폐포 (closure)
• 경계 (boundary)
• 외부 (exterior)
• 열린집합과 닫힌집합