나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)은 점성을 가진 유체(뉴턴 유체, Newtonian fluid)의 운동을 기술하는 비선형 편미분방정식이다. 약칭하여 N-S 방정식이라고도 한다. 프랑스의 물리학자 클로드 루이 나비에(Claude Louis Navier, 1785~1836)가 1822년에 처음 제안하였고, 아일랜드 출신의 영국 수학자 조지 가브리엘 스토크스(George Gabriel Stokes, 1819~1903)가 1845년에 이를 보완·완성하면서 현재의 형태가 확립되었다. 이 방정식은 비점성 유체를 다루는 오일러 방정식(Euler equations)을 점성 항을 포함하도록 확장한 것이다.
물리적 의미
나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 제2법칙(힘 = 질량 × 가속도)을 유체 운동에 적용한 것으로, 좌변은 유체 입자의 가속도 항을, 우변은 유체에 작용하는 단위 질량당 힘(압력 구배, 점성력, 외력)을 나타낸다. 비압축성 유체의 경우 연속 방정식(질량 보존)과 함께 연립하여 풀게 된다.
수학적 표현 (아인슈타인 표기법)
∂uᵢ/∂t + uⱼ ∂uᵢ/∂xⱼ = fᵢ − (1/ρ) ∂p/∂xᵢ + ν ∂²uᵢ/∂xⱼ∂xⱼ
여기서 u는 속도, f는 단위 체적당 외력, ρ는 밀도, p는 압력, ν는 동점성계수이다.
활용 분야
이 방정식은 유체 흐름이 관여하는 거의 모든 분야에서 사용된다. 기상 모델(날씨 예측), 해류 분석, 항공기와 자동차의 공기역학적 설계, 혈관 내 혈류 해석, 파이프 내 유체 수송, 오염물질 확산 연구, 별의 운동 등 광범위한 영역에서 활용된다. 전산유체역학(CFD, Computational Fluid Dynamics)은 이 방정식을 수치적으로 근사 해석하는 학문이다.
밀레니엄 문제 (미해결 난제)
나비에-스토크스 방정식은 실용적으로 널리 사용되고 있음에도 불구하고, 3차원 공간에서 이 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지(강해의 존재성과 유일성)는 아직 수학적으로 완전히 증명되지 않았다. 1934년 장 르레(Jean Leray)가 약해(weak solution)의 존재성을 증명하였고, 2차원의 경우 올가 라젠스카야(Olga Ladyzhenskaya)가 완전히 해결하였으나, 3차원 일반 조건에서의 강해(strong solution) 존재성은 미해결 상태이다. 2000년 5월, 클레이 수학연구소(Clay Mathematics Institute)는 이 문제를 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하고 해결에 100만 달러의 상금을 걸었다. 2014년에는 테렌스 타오(Terence Tao)가 평균화된 나비에-스토크스 방정식에서 유한 시간 내에 폭발하는 해가 존재함을 보인 바 있다.
