기하학에서 꾸러미(영어: pencil)는 1차원 동차좌표로 매개변수화되는 기하학적 대상들의 집합을 뜻한다. 이 개념은 사영기하학(projective geometry)에서 특히 중요한 역할을 하며, 공통된 성질을 공유하는 기하학적 대상들의 한 매개변수족(one-parameter family)으로 이해할 수 있다.
정의
서로 다른 두 기하학적 대상이 주어졌을 때, 이들을 선형 결합하여 얻어지는 대상들의 집합이 꾸러미를 이룬다. 예를 들어, 서로 다른 두 직선 $l$과 $l'$이 주어졌을 때, 식
$$ \lambda l + \lambda' l' $$
으로 표현되는 직선들의 집합이 직선 꾸러미(line pencil)이다. 여기서 $(\lambda, \lambda')$는 1차원 동차좌표를 나타내며, 이는 사영 직선(projective line)을 이룬다.
주요 유형
- 직선 꾸러미(pencil of lines): 평면 위에서 한 점(꼭짓점, vertex)을 공통으로 통과하는 모든 직선들의 집합. 평행선들의 경우, 사영 평면에서 무한원점(point at infinity)을 공통으로 통과하는 꾸러미로 간주된다.
- 평면 꾸러미(pencil of planes): 3차원 공간에서 한 직선(축, axis)을 공통으로 포함하는 모든 평면들의 집합. 지구의 자전축을 축으로 하는 자오선 평면들이 그 예이다.
- 원 꾸러미(pencil of circles): 동일한 근축(radical axis)을 공유하는 모든 원들의 집합. 타원형(elliptic), 쌍곡형(hyperbolic), 포물형(parabolic) 꾸러미 등으로 분류된다.
- 이차 곡선 꾸러미(pencil of conics): 평면 위에서 네 개의 공통 기저점(base points)을 통과하는 모든 이차 곡선들의 집합.
- 구 꾸러미(pencil of spheres): 두 구의 방정식의 선형 결합으로 표현되는 모든 구들의 집합.
사영기하학적 관점
사영기하학의 관점에서, 평면 속의 직선들이나 이차 곡선들, 또는 공간 속의 평면들이나 이차 곡면들은 각각 사영 공간을 이루며, 꾸러미는 이 사영 공간 속의 (사영) 직선에 해당한다. 더 일반적으로, 꾸러미는 대수기하학에서 인자(divisor)의 선형계(linear system) 중 매개변수 공간이 사영 직선인 특수한 경우로 이해된다.
역사
"직선 꾸러미"(pencil of lines)라는 용어는 프랑스의 수학자 지라르 데자르그(Girard Desargues)가 처음 도입한 것으로 알려져 있다. 근대 사영기하학의 초기 저자인 G. B. 홀스테드(Halsted)는 "flat-pencil"이라는 용어를 사용하여 각(angle)을 정의하기도 하였다.
참고 문헌
- Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》, 《Geometry II》, Springer.
- Weisstein, Eric W. "Pencil", Wolfram MathWorld.
- Halsted, George Bruce (1906). 《Synthetic Projective Geometry》, New York: Wiley.
