기하 분포

기하 분포(幾何分布, geometric distribution)는 확률론과 통계학에서 다루어지는 이산 확률 분포의 하나이다. 베르누이 시행을 반복할 때, 처음으로 성공이 나타나기까지의 시행 횟수 또는 실패 횟수를 확률 변수로 하는 분포를 가리킨다.

정의

기하 분포에는 통상 두 가지 정의 방식이 존재한다.

• 첫째, 베르누이 시행에서 처음 성공까지 시도한 횟수 X의 분포이다. 이 경우 확률 변수 X가 가질 수 있는 값은 {1, 2, 3, ...}이다.
• 둘째, 베르누이 시행에서 처음 성공할 때까지 실패한 횟수 Y = X - 1의 분포이다. 이 경우 확률 변수 Y가 가질 수 있는 값은 {0, 1, 2, ...}이다.

기하 분포를 언급할 때는 두 정의 중 어느 것을 사용하는지 명확히 하는 것이 일반적으로 권장되며, 대개의 경우 첫 번째 정의(시도 횟수 X의 분포)를 가리키는 경우가 많다.

확률 질량 함수

성공 확률이 p인 베르누이 시행을 가정할 때, k번째 시행에서 첫 번째 성공을 얻을 확률은 다음과 같이 표현된다.

Pr(X = k) = (1 - p)^(k-1) × p (k = 1, 2, 3, ...)

한편, 첫 번째 성공까지의 실패 횟수 Y = X - 1에 대해서는 다음과 같다.

Pr(Y = k) = (1 - p)^k × p (k = 0, 1, 2, ...)

두 경우 모두 확률의 수열이 기하 수열(등비수열)을 이루기 때문에 "기하 분포"라는 이름이 붙었다. 이는 "기하학적(geometric) 상황과 관련된 분포"라는 의미가 아니라, 확률값이 기하 수열의 형태를 띠는 데에서 유래한 명칭이다.

주요 특징

기하 분포의 기댓값과 분산은 정의 방식에 따라 달라진다. 첫 번째 정의(시도 횟수 X)를 기준으로 할 때 기댓값은 1/p, 분산은 (1 - p)/p²이다. 두 번째 정의(실패 횟수 Y)를 기준으로 하면 기댓값은 (1 - p)/p, 분산은 (1 - p)/p²이다.

기하 분포는 연속 확률 분포인 지수 분포와 대응되는 이산 분포로서, 지수 분포와 마찬가지로 무기억성(memoryless property)을 지닌다. 무기억성이란 이미 여러 번의 시행이 실패로 끝났다는 사실이 이후 시행의 성공 확률에 영향을 미치지 않는다는 성질을 의미한다.

활용

기하 분포는 성공과 실패의 이진 결과를 가지는 반복 시행에서 첫 성공까지 걸리는 시행 횟수를 모델링하는 데 사용된다. 예를 들어 동전 던지기에서 처음 앞면이 나올 때까지의 던진 횟수, 제조 공정에서 첫 불량품이 발견될 때까지 검사한 제품 수, 게임이나 실험에서 특정 사건이 처음 발생할 때까지의 시도 횟수 등을 설명하는 데 적용될 수 있다.

관련 분포

기하 분포는 이항 분포, 초기하 분포, 포아송 분포 등과 함께 대표적인 이산 확률 분포에 속한다. 이항 분포가 고정된 시행 횟수에서의 성공 횟수를 다루는 반면, 기하 분포는 성공이 처음 나타날 때까지의 시행 횟수에 관심을 둔다는 점에서 구별된다. 또한 r번째 성공까지 걸리는 시행 횟수를 다루는 음이항 분포(파스칼 분포)는 기하 분포를 r = 1인 특수한 경우로 포함한다.