기울기는 수학에서 사용되는 용어로, 크게 두 가지 맥락에서 정의된다.
1. 직선의 기울기 (Slope)
데카르트 좌표계에서 직선이 기울어진 정도를 나타내는 수이다. 직선 위의 서로 다른 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$가 주어졌을 때, 기울기 $m$은 다음과 같이 정의된다.
$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
여기서 $\Delta y$는 $y$의 변화량, $\Delta x$는 $x$의 변화량을 의미한다. 기울기가 $m$인 일차방정식은 $y = mx + b$의 형태로 표기할 수 있으며, 이때 $b$는 $y$절편이다. 기울기는 직선이 $x$축과 이루는 각 $\phi$의 탄젠트값과 같다 ($m = \tan \phi$).
삼각형의 닮음 조건에 따라, 데카르트 좌표계에서 임의의 일차방정식이 나타내는 직선에서 $x$의 변화량에 대한 $y$의 변화량의 비는 언제나 일정하므로, 기울기는 직선의 고유한 성질이다.
2. 벡터 미적분학에서의 기울기 (Gradient)
벡터 미적분학에서 기울기(그레이디언트, gradient)는 스칼라장의 최대 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다. 스칼라 함수 $f(x)$의 기울기는 $ abla f$(나블라 연산자)로 표현하며, 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의된다.
$$
abla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) $$
기울기 벡터의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 벡터의 크기는 그 방향에서의 증가율의 크기를 나타낸다. 예를 들어, 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 $\phi$로 주어졌을 때, 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.
기울기의 주요 성질로는 다음이 있다.
- 기울기(그레이디언트)는 등위선(등위곡면)과 직교한다.
- 기울기는 무회전성 벡터계(보존장)이다. 즉, 기울기 벡터계에 대한 선적분은 경로와 무관하며 시작점과 끝점에만 의존한다.
3. 실생활에서의 활용
교통 표지판에 표시되는 경사도(퍼센트)는 기울기의 일상적 응용이다. 예를 들어 경사도 10%는 100m를 주행할 때 고도가 10m 상승함을 의미하며, 이때의 기울기는 $10/100 = 0.1$이고 경사각은 약 $5.7^\circ$이다.
4. 어원
영어 'slope'는 경사진 땅이나 비탈을 의미하는 중세 영어에서 유래하였으며, 'gradient'는 라틴어 'gradi'(걷다, 나아가다)에서 파생되었다. 한국어 '기울기'는 '기울다'라는 동사에 명사화 접미사 '-기'가 결합된 고유어이다.
