기본 영역(fundamental domain)은 주로 수학, 특히 위상수학과 군론에서 사용되는 개념이다. 주어진 위상 공간과 그 위에 작용하는 군(group)이 주어질 때, 군 작용에 의해 형성되는 각 궤도(orbit)에서 정확히 한 점을 포함하는 공간의 부분 집합을 말한다. 즉, 기본 영역은 궤도들의 대표점 집합을 기하학적으로 구현한 것이다.
기본 영역을 선택하는 방법은 여러 가지가 있으며, 일반적으로 연결된 부분 집합이면서 경계에 일정한 조건(예: 매끄러운 경계 또는 다면체의 모서리)이 있는 것이 요구된다. 군 작용 아래에서 선택한 기본 영역의 상(像)은 공간을 바둑판식으로 배열하게 된다. 기본 영역의 대표적인 구성 방법 중 하나는 보로노이 도식(Voronoi diagram)을 이용하는 것이다.
수학적 정의를 좀 더 구체적으로 살펴보면, 위상동형사상에 의한 위상 공간 X에서 군 G의 작용이 주어질 때, 기본 영역 D는 각 궤도의 대표원 집합이다. 이때 D는 위상적으로 충분히 좋은 집합이어야 하는데, 한 가지 일반적인 조건은 D가 특정 준불변 측도에 대해 영 측도 집합과 X의 열린 집합의 대칭차(symmetric difference)라는 점에서 '거의 열린 집합'이라는 것이다.
대표적인 예로, X가 n차원 유클리드 공간 Rⁿ이고 G가 평행 이동에 의해 작용하는 격자 Zⁿ일 때, 몫공간 X/G는 n차원 원환면(torus)이 된다. 이때 기본 영역 D는 반개구간 [0,1)ⁿ으로 볼 수 있으며, 이는 열린 집합 (0,1)ⁿ과 영 측도 집합의 차이만 있다. 닫힌 단위입방체 [0,1]ⁿ를 기본 영역으로 선택할 수도 있는데, 이 경우 궤도가 D에서 둘 이상의 대표점을 갖는 점들이 존재하게 된다.
다양한 대칭 상황에서의 기본 영역 예시는 다음과 같다. n겹 회전의 경우 기본 영역은 하나의 섹터(sector)가 되며, 주어진 평면에서의 반사의 경우 해당 평면으로 경계가 지어진 반공간(half-space)이 된다. 한 방향으로의 이산 병진 대칭의 경우 기본 영역은 무한한 판(판자 형태)이며, 두 방향의 경우 평행사변형 단면을 가진 무한한 막대, 세 방향의 경우 단위 격자(직육면체 또는 위그너-자이츠 격자)가 된다. 다른 대칭과 결합된 병진 대칭의 경우 기본 영역은 기본 셀(fundamental cell)의 일부이며, 예를 들어 벽지군(wallpaper group)의 경우 기본 영역은 기본 격자보다 1, 2, 3, 4, 6, 8 또는 12배 작은 요소가 된다.
모듈러 군(modular group)의 기본 영역은 수학사에서도 유명한 사례로, 상반평면 H에서 모듈러 군 Γ의 작용에 대한 기본 영역 구성은 가우스가 이차 형식의 축소 이론을 연구하며 다루었다고 알려져 있다. 이 경우 자유 정규 집합 U는 |z|>1이고 |Re(z)|<1/2인 복소수 z의 집합으로 주어지며, 여기에 특정 경계점들을 추가하여 표준적 기본 영역을 구성한다. 기본 영역의 경계에 어떤 점을 포함할지는 저자마다 다르며 임의적 선택의 문제가 있다.
한편, '기본 영역'이라는 용어는 수학 이외의 분야에서도 다른 의미로 사용된다. 전기·전자 분야에서 기본 영역(基本領域)은 트랜지스터에서 소수 반송자를 주입하거나 끌어내는 전극 사이의 영역, 즉 이미터(emitter)와 컬렉터(collector) 사이의 영역을 가리키는 용어로 쓰인다. 또한 데이터베이스 분야에서는 일반적인 레코드 저장 영역을 뜻하는 용어로 사용되기도 하며, 이는 영어로 'prime area' 또는 'prime region'에 해당한다.
이처럼 '기본 영역'은 수학에서의 엄밀한 정의를 가진 개념으로 가장 널리 알려져 있으며, 이외에도 전자공학과 데이터베이스 등 분야별로 서로 다른 의미로 사용되는 다의어적 성격을 가진 용어이다.
