근(根, 영어: root)은 수학에서 방정식이 참이 되도록 하는 미지수의 값을 의미한다. 방정식의 근은 해(解)라고도 불리며, 두 용어는 거의 같은 의미로 사용되나, '근'은 특히 다항방정식의 해를 가리키는 경우가 많고 '해'는 방정식과 부등식 등 더 일반적인 맥락에서 사용된다.
함수의 근, 해 또는 영점(零點, 영어: zero)은 함숫값이 0이 되도록 하는 정의역의 원소의 값이다. 즉, 함수 $f(x)$의 근은 방정식 $f(x)=0$의 근이다. 함수의 그래프 관점에서 보면, 실함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표가 함수의 근이 된다.
근의 구성
모든 홀수 차수 실계수 다항식은 적어도 하나의 실수인 근을 가진다. 짝수 차수 다항식의 경우 반드시 실수인 근을 가지는 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 $n$차 다항식은 중근을 포함하여 $n$개의 복소수 근을 가진다. 실계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.
어떤 방정식이 $0x=0$의 꼴로 나타내어지면 근의 개수가 무한해지므로 이를 부정(不定)이라고 한다. 반대로 방정식이 $0x=a$($a eq 0$)의 꼴로 나타내어지면 근이 존재하지 않게 되므로 이를 불능(不能)이라고 한다.
근의 공식
1차부터 4차까지의 다항방정식은 사칙 연산과 제곱근만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 근의 공식이라 하며, 특히 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근의 공식 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$가 대표적이다. 아벨-루피니 정리에 의해 5차 이상의 다항방정식에 대해서는 일반적인 대수적 근의 공식은 존재하지 않는다. 다만 타원함수 등의 초월함수를 이용하면 5차 이상의 방정식도 근의 공식을 만들 수 있다.
어원
페르시아의 수학자 콰리즈미(783~850)의 《약분·소거 계산론》에는 '근본', '기반', '뿌리' 등을 뜻하는 아랍어 단어 '자드르(جذر)'가 여러 용도로 쓰였다. '자드르'는 단위면적을 부르는 말로도 쓰였는데, 특정 조건을 만족하는 널판지의 단위면적을 구하는 문제는 방정식의 근을 구하는 문제로 치환될 수 있었다. 중세 유럽인들이 이 책을 라틴어로 번역하면서 '자드르'를 '뿌리'라는 뜻의 라틴어 '라딕스(radix)'로 번역하였고, 이것이 오늘날 수학 용어 '근(根)'의 기원이 되었다.
