근 판정법(根判定法, Root Test)은 무한 급수의 수렴 여부를 판별하는 수학적 기준 중 하나이다. 양수 항 급수뿐만 아니라 일반 항의 절댓값을 취해 일반 급수의 절대 수렴 여부를 판단하는 데에도 널리 사용된다.
정의 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 에 대해 다음 극한의 상한(limit superior)을 정의한다. $$ L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} $$ 이때 다음의 판정 기준이 성립한다.
- $L < 1$ 인 경우: 급수 $\sum a_n$ 은 절대 수렴한다.
- $L > 1$ 인 경우 (또는 $L = \infty$): 급수 $\sum a_n$ 은 발산한다. (일반 항 $a_n$ 이 0으로 수렴하지 않음)
- $L = 1$ 인 경우: 이 판정법만으로는 수렴 또는 발산을 판정할 수 없다. (다른 판정법 필요)
특징 및 관련 개념
- 다랑베르 판정법(비 판정법, Ratio Test)과의 관계: 근 판정법은 비 판정법보다 적용 범위가 넓다. 비 판정법이 성립하는 경우 근 판정법도 성립하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 이 존재하지 않아 비 판정법을 쓸 수 없는 경우에도 $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ 이 존재하면 근 판정법을 적용할 수 있다.
- 코시 판정법(Cauchy's Root Test): 오귀스탱 루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)가 정립하였으므로 '코시의 근 판정법'이라고도 부른다.
- 거듭제곱 급수에서의 활용: 거듭제곱 급수 $\sum c_n (z - a)^n$ 의 수렴 반경 $R$ 을 구하는 공식(아다마르 공식, Hadamard's formula) $ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} $ 은 근 판정법을 직접 적용하여 유도된다.
적용 예시 일반 항에 $n$ 제곱근이나 $n$ 승이 포함된 급수(예: $\sum (\frac{2n+1}{3n+2})^n$, $\sum \frac{n^n}{n!}$ 등)에서 비 판정법보다 계산이 용이한 경우가 많다.
