극값(極値, 영어: extremum)은 수학, 특히 해석학에서 함수의 값이 주위의 근방에서 가장 크거나 가장 작을 때의 함숫값을 통틀어 이르는 말이다. 구체적으로, 함수의 극댓값(極大값, local maximum value)은 극대점(local maximum point)이 갖는 함숫값으로서, 그 점의 적절한 근방에 속하는 모든 점에서의 함숫값보다 크거나 같은 값을 의미한다. 마찬가지로 극솟값(極小값, local minimum value)은 극소점(local minimum point)이 갖는 함숫값으로서, 그 점의 적절한 근방에 속하는 모든 점에서의 함숫값보다 작거나 같은 값을 의미한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 하며, 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點)이라고 한다. 기하학적으로 함수의 그래프는 극대점에서 위로 볼록하게 솟아 있고, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져 있다.
극값은 최댓값·최솟값과 구별되는 개념이다. 최댓값(global maximum)과 최솟값(global minimum)은 정의역 전체를 대상으로 하여 함수값의 대소를 비교하여 얻어지는 값인 반면, 극값은 정의역 전체가 아닌 해당 점의 국소적인 근방에서만의 대소를 비교하여 얻어지는 값이다. 따라서 극대점이나 극소점이 반드시 전체 함수의 최대점이나 최소점은 아니며, 그 역도 성립하지 않는다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 강한 개념이다.
수학적으로 극값을 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. 위상 공간 X 상의 함수 f : X → ℝ에 대하여, 어떤 점 x ∈ X의 근방 U ⊆ X가 존재하여 U에 속하는 임의의 y에 대해 f(y) ≤ f(x)가 성립하면 x를 극대점, f(x)를 극댓값이라 한다. 반대로 U에 속하는 임의의 y에 대해 f(y) ≥ f(x)가 성립하면 x를 극소점, f(x)를 극솟값이라 한다. 이 정의에서 모든 y ≠ x에 대하여 부등호를 엄격한 부등호(<, >)로 대신하면 엄격한 극값(strict extremum)의 정의가 된다.
극값의 판정에는 주로 미분이 사용된다. 일계 도함수 판정법에 따르면, 함수 f가 미분 가능하고 점 x₀에서 극값을 가진다면 f'(x₀) = 0이 성립한다. 이를 페르마의 정리라고도 한다. 즉 극값을 가지는 점은 반드시 임계점(도함수가 0이 되는 점)이어야 한다. 다만 그 역, 즉 임계점이라고 해서 모두 극값을 갖는 것은 아니다(예: f(x) = x³의 x = 0에서의 점). 이계 도함수 판정법에 따르면, 일변수 함수의 경우 임계점 x₀에서 f''(x₀) > 0이면 극소, f''(x₀) < 0이면 극대이며, 이계 도함수의 부호만으로 판별이 어려운 경우도 존재한다. 다변수 함수의 경우에는 헤세 행렬(Hessian matrix)의 양의 정부호성 또는 음의 정부호성과 헤세 행렬식을 이용하여 극값을 판정한다.
유계인 폐구간에서 연속인 함수는 최대 최소 정리(극값 정리, extreme value theorem)에 따라 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 극값의 개념은 최적화 문제, 경제학, 물리학 등 여러 분야에서 최대값과 최소값을 구하는 데 널리 응용된다. 예를 들어 라그랑주 승수법은 제약 조건 하에서의 극값을 구하는 대표적인 방법이다.
극값은 수학의 표준적인 학술 용어로서 위키백과, 수학 교과서, 논문 등 공신력 있는 여러 자료에서 일관된 정의로 사용되고 있으며, 한국의 고등학교 수학 및 미적분학 교육과정에서도 핵심 개념으로 다루어지는 잘 알려진 개념이다.
