정의
균형 3진법(balanced ternary)은 밑(base)이 3인 삼진법 기수법의 한 형태로, 자릿수(digit)로 -1, 0, 1의 세 값을 사용하는 위치 기수법(positional numeral system)이다. 이는 표준적인 (불균형) 삼진법이 0, 1, 2의 세 자릿값을 사용하는 것과 대비된다. 균형 3진법에서는 별도의 음수 부호(minus sign) 없이도 모든 정수를 표현할 수 있으며, 수의 최상위 0이 아닌 자릿수의 값이 그 수 자체의 부호를 결정한다.
표기법
균형 3진법의 세 자릿값 -1, 0, 1을 표기하는 데에는 여러 가지 글리프(glyph)가 사용된다. 본 문서에서는 -1을 T로, 0과 1은 그대로 표기한다. 다른 표기 방식으로는 -1과 1을 각각 '−'와 '+'로 나타내거나, -1을 원 안에 마이너스 기호가 있는 Θ(세타)로 표기하기도 한다. 소련의 세툰(Setun) 컴퓨터 관련 문헌에서는 -1을 1을 뒤집은 형태( overturned 1: "1" )로 나타냈다.
역사
균형 3진법은 1544년 미하엘 슈티펠(Michael Stifel)의 저서 《Arithmetica Integra》에 초기 형태가 등장한다. 이후 요하네스 케플러(Johannes Kepler)와 레옹 랄란(Léon Lalanne)의 연구에서도 나타난다. 관련 부호 자릿수(signed-digit) 방식의 다른 진법들은 존 콜슨(John Colson), 존 레슬리(John Leslie), 오귀스탱 루이 코시(Augustin-Louis Cauchy) 등이 논의하였으며, 고대 인도의 베다(Vedas) 문헌에도 유사한 개념이 등장했을 가능성이 제기된다.
도널드 커누스(Donald Knuth)는 균형 3진법에 대해 "아마 모든 기수법 중 가장 아름답다"고 평가한 바 있다.
수학적 성질
균형 3진법에서 각 자릿수의 값은 3의 거듭제곱과 해당 자릿값(-1, 0, 1)의 곱으로 결정된다. 예를 들어, 10Tbal3 (T는 -1)은 1×3² + 0×3¹ + (-1)×3⁰ = 9 - 1 = 8(십진수)로 계산된다.
균형 3진법의 주요 수학적 특징은 다음과 같다.
- 모든 정수는 균형 3진법으로 유일하게 표현된다.
- 어떤 정수가 3으로 나누어떨어지는지 여부는 일의 자리(units place)가 0인지로 판별할 수 있다.
- 균형 3진법에서 절사(truncation)와 반올림(rounding)은 동일한 결과를 산출한다. 이는 다른 균형 기수법과 공유하는 성질이다.
- 홀수 밑(odd radix)을 사용하므로 이중 반올림(double rounding)이 최종 정밀도로 직접 반올림한 결과와 동일하다.
사칙연산
균형 3진법의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 일반적인 삼진법과 유사하게 수행된다. 덧셈표에서 9개 항목 중 2개만이 자리올림(carry)을 발생시키며, 곱셈표는 모든 항목이 한 자릿수로 유지되어 자리올림이 전혀 발생하지 않는다. 이는 표준 삼진법(불균형)이 덧셈에서 3개, 곱셈에서 1개의 자리올림을 갖는 것과 비교하여 연산 회로의 복잡도를 낮추는 장점이 있다.
컴퓨터에서의 활용
초기 컴퓨터 시대에 소련에서 몇 대의 실험적인 균형 3진법 컴퓨터가 제작되었다. 가장 유명한 것은 니콜라이 브루센초프(Nikolay Brusentsov)와 세르게이 소볼레프(Sergei Sobolev)가 개발한 세툰(Setun) 컴퓨터이다. 세툰은 6트리트(trit, ternary digit)를 하나의 트라이트(tryte)로 정의하였으며, 이는 약 9.5비트에 해당한다.
균형 3진법은 이진법에 비해 동일한 수를 표현하는 데 필요한 자릿수가 약 log₃2 ≈ 63% 수준으로 적다. 커누스는 "균형 3진법 산술을 위한 회로의 복잡도는 이진법 시스템에 비해 크지 않으며, 주어진 수를 표현하는 데 필요한 자릿수는 약 63%에 불과하다"고 언급하였다.
최근에는 인공 신경망의 저전력·저메모리 구현을 위한 양자화(quantization) 연구에서 균형 3진법이 주목받고 있다. 신경망의 가중치(parameter)를 -1, 0, 1의 균형 3진법 값으로 표현하면 흥분(excitatory), 억제(inhibitory), 무효(null) 활성화 패턴을 자연스럽게 나타낼 수 있어, 모델 크기와 연산량을 크게 줄일 수 있다.
기타 응용
균형 3진법은 컴퓨팅 외에도 다양한 분야에 응용된다. 고전적인 양팔 저울(two-pan balance)에서 각각 3의 거듭제곱에 해당하는 분동(1, 3, 9, 27, 81...)을 사용하면 적은 수의 분동으로도 넓은 범위의 무게를 정밀하게 측정할 수 있다. 예를 들어 60그램의 물체(60dec = 1T1T0bal3)는 81그램 분동을 반대쪽 접시에, 27그램 분동을 같은 쪽 접시에, 9그램 분동을 반대쪽에, 3그램 분동을 같은 쪽에 놓고 1그램 분동은 사용하지 않음으로써 평형을 이룰 수 있다.
마찬가지로 1, 3, 9, 27, 81 단위의 화폐 체계에서 구매자와 판매자가 각 종류별로 하나씩의 동전만 가지고 있어도 최대 121단위까지의 모든 거래가 가능하다.
무리수의 표현
다른 정수 밑 기수법과 마찬가지로, 균형 3진법에서 대수적 무리수(algebraic irrational)와 초월수(transcendental number)는 순환하지 않는 무한소수로 표현된다. 예를 들어 원주율 π는 균형 3진법으로 10.011T111T000T011T1101T111111...bal3으로 표현된다.
