군 (수학)
정의
군(群, group)은 추상대수학에서 다루는 기본적인 대수구조 중 하나로, 집합 $G$와 그 위에 정의된 이항 연산 $*: G \times G \rightarrow G$가 다음 네 가지 공리(군 공리)를 만족할 때 이를 군이라고 한다.
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폐쇄성 (Closure)
모든 $a, b \in G$에 대해 $a * b \in G$이다. -
결합법칙 (Associativity)
모든 $a, b, c \in G$에 대해 $(a * b) * c = a * (b * c)$이다. -
항등원 존재 (Identity element)
집합 $G$ 안에 항등원 $e$가 존재하여 모든 $a \in G$에 대해 $e * a = a * e = a$가 된다. -
역원 존재 (Inverse element)
각 원소 $a \in G$마다 역원 $a^{-1} \in G$가 존재하여 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$가 된다.
위 네 공리를 만족하는 $(G, *)$를 군이라 부른다.
군의 종류
- 아벨군(Abelian group): 연산이 교환법칙 $(a * b = b * a)$을 추가로 만족하는 경우.
- 유한군(Finite group): 원소의 개수가 유한한 군.
- 무한군(Infinite group): 원소가 무한히 많은 군.
- 대칭군(Symmetric group): 집합의 순열 전체가 이루는 군으로, 보통 $S_n$으로 표기한다.
주요 예시
| 집합 및 연산 | 군 여부 | 비고 |
|---|---|---|
| 정수 집합 $\mathbb{Z}$와 덧셈 | 예 | 아벨군 |
| 실수 집합 $\mathbb{R}$와 곱셈 (0 제외) | 예 | 아벨군 ($\mathbb{R}^\times$) |
| 행렬 집합 $GL_n(\mathbb{R})$와 행렬 곱 | 예 | 비아벨군 (일반적으로 비가환) |
| 자연수 집합 $\mathbb{N}$와 덧셈 | 아니오 | 항등원(0)이 포함되지 않음 |
응용 분야
- 대수학: 군론은 환, 체, 모듈 등 다른 대수구조와 깊게 연관된다.
- 대수적 위상수학: 기본군($\pi_1$)은 위상공간의 경로 연결성 정보를 담는다.
- 수론: 군론은 군체(Galois group)를 통해 다항식의 근의 대칭성을 다룬다.
- 물리학: 입자 물리학·결정학 등에서 대칭군을 이용해 보존법칙과 물질의 구조를 기술한다.
- 암호학: 군의 연산을 기반으로 한 공개키 암호 체계(예: RSA는 곱셈군 $\mathbb{Z}_n^\times$를 이용)등에 활용된다.
관련 용어
- 부분군(Subgroup): 군 $G$의 부분집합이 동일한 연산으로도 군을 이루는 경우.
- 정규군(Normal subgroup): 좌우 곱셈에 대해 동등한 군, 군의 몫군을 정의할 수 있게 함.
- 곱집합(Direct product): 두 군 $G, H$의 곱집합 $G \times H$는 자연스럽게 군 구조를 갖는다.
참고 문헌
- Dummit, D. S., & Foote, R. M. Abstract Algebra. 3rd ed. Wiley, 2004.
- Rotman, J. J. An Introduction to the Theory of Groups. 4th ed. Springer, 1995.
- Lang, S. Algebra. Revised 3rd ed. Springer, 2002.
요약
군은 집합과 이항 연산이 네 가지 기본 공리를 만족하는 대수구조로, 수학 전반에 걸쳐 대칭과 구조를 분석하는 핵심 도구이다. 다양한 구체적 예와 광범위한 응용을 통해 현대 수학 및 과학의 기본 틀을 제공한다.
