구면좌표계

구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 일반적으로 세 개의 변수 $(r, \theta, \phi)$를 사용하여 표현한다. 원점으로부터의 거리 $r$, 기준 축(보통 z축)과 이루는 각도 $\theta$(천정각 또는 극각), 그리고 기준 평면에서의 방위각 $\phi$로 구성된다.

변수의 범위와 정의

구면좌표계는 한 점을 여러 좌표로 표현할 수 있는 비일의성(non-uniqueness)이 있으므로, 일반적으로 각 변수의 범위를 다음과 같이 제한한다.

• $r \geq 0$ (원점에서의 거리, 0부터 무한대까지)
• $0 \leq \theta \leq \pi$ (z축 양의 방향과 이루는 각, 단위는 라디안)
• $0 \leq \phi < 2\pi$ (x축을 기준으로 한 방위각)

좌표계 변환

구면좌표계와 직교좌표계(Cartesian coordinate system) 사이의 변환 관계는 다음과 같다.

• 구면좌표계 → 직교좌표계: $$ x = r \sin\theta \cos\phi,\quad y = r \sin\theta \sin\phi,\quad z = r \cos\theta $$

• 직교좌표계 → 구면좌표계: $$ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \arccos\frac{z}{r},\quad \phi = \arctan\frac{y}{x} $$

원통좌표계(cylindrical coordinate system)와의 변환도 가능하다.

명명 규칙의 차이

구면좌표계의 변수 표기에는 학문 분야에 따라 차이가 있다. 물리학에서는 ISO 31-11 표준에 따라 $(r, \theta, \phi)$를 사용하며, $\theta$는 천정각(z축과의 각), $\phi$는 방위각을 의미한다. 반면 (미국) 수학계에서는 $\theta$와 $\phi$의 역할이 바뀌어 사용되기도 한다. 이 표기법 차이는 주의가 필요하다.

미분 연산자

구면좌표계에서의 주요 미분 연산자는 다음과 같다.

• 기울기(gradient): $$

abla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} $$

• 발산(divergence): $$

abla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta,F_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} $$

• 라플라시안(Laplacian): $$

abla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} $$

면적 요소와 부피 요소

• 구면의 면적 요소: $da = r^2 \sin\theta , d\theta , d\phi$
• 부피 요소: $dV = r^2 \sin\theta , dr , d\theta , d\phi$

활용

구면좌표계는 구대칭(spherical symmetry)을 갖는 문제에서 특히 유용하다. 대표적인 예로 수소 원자 모델에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계가 사용된다. 또한 지구의 위도와 경도 체계는 구면좌표계의 응용으로 볼 수 있으며, 이 경우 $\theta$는 위도(또는 여위도), $\phi$는 경도에 대응된다. 천문학, 지리학, 전자기학, 유체역학 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.