구면 테셀레이션(spherical tessellation)은 2차원 구면 위에서 정의되는 테셀레이션이다. 평면 테셀레이션이 평면 다각형을 이용해 평면을 빈틈없이 채우는 것과 유사하게, 구면 테셀레이션은 구면다각형(spherical polygon)을 이용해 구면 전체를 빈틈없이 덮는 분할을 의미한다. 구면 기하학의 도형은 실제 공(球) 위에 그릴 수 있으므로, 쌍곡 기하학과 달리 가상 모형 없이도 실물로 구현 가능하다. 축구공(깎은 정이십면체 형태)이 대표적인 일상생활의 예시이다.
구면다각형은 평면 다각형과 달리 다각형의 크기가 커질수록 내각의 합이 증가하는 성질을 가지며, 유클리드 기하학에서는 존재할 수 없는 일각형(monogon)과 이각형(digon)이 구면 기하학에서는 가능하다. 평면 테셀레이션이나 쌍곡 테셀레이션이 동일한 다각형 배열을 무한히 반복하는 것과 달리, 구면 테셀레이션을 구성하는 다각형의 개수는 유한하며 전체 면적도 유한하다.
정규 구면 테셀레이션(Regular Spherical Tessellation)
정규 구면 테셀레이션은 크게 정다면체 대칭형과 이면체 대칭형으로 나뉜다.
정다면체 대칭형은 총 5종으로, 각각 볼록 정다면체(Platonic solid)에 대응된다. 슐레플리 기호(Schläfli symbol) {p,q}로 표현하며, 이는 한 꼭짓점에 q개의 정p각형이 모인 형태를 의미한다. 구체적으로는 구면 정사면체 {3,3}, 구면 정육면체 {4,3}, 구면 정팔면체 {3,4}, 구면 정십이면체 {5,3}, 구면 정이십면체 {3,5}가 존재한다.
이면체 대칭형(dihedral symmetry)은 호조헤드론(hosohedron)과 이면체(dihedron)로 구성된다. {2,n}은 n각 호조헤드론으로, 경선 여러 개로 구분된 이각형(lune) 여러 개로 이루어진 형태이다. {n,2}는 n각 이면체로, 적도에 대원(great circle) 하나가 경계선이 되어 구면 전체를 둘로 나누는 형태이다. 이 중 {2,2}는 유일하게 호조헤드론이자 이면체인 자기쌍대(self-dual) 도형이다.
일반화된 구면 테셀레이션
정규 형태 외에도 다양한 구면 테셀레이션이 존재한다. 1966년 Zalgaller는 정규 구면 다각형에 의한 edge-to-edge 구면 테셀레이션을 완전히 분류하여, 가능한 경우가 플라톤 테셀레이션(Platonic tiling), 아르키메데스 테셀레이션(Archimedean tiling), 존슨 테셀레이션(Johnson tiling), 프리즘 및 반프리즘(anti-prism) 테셀레이션, 그리고 두 개의 타일이 경계를 공유하는 경우뿐임을 증명하였다. 2024년에는 Adams 등이 정규 구면 다각형에 의한 non-edge-to-edge 테셀레이션을 모두 결정하여, 5개의 연속적인 kaleidoscope 계열, 15개의 2-반구(2-hemisphere) 계열, 4개의 lunar 테셀레이션, 5개의 산발적(sporadic) 테셀레이션 등을 추가로 발견하였다.
또한 2022년 Cheung, Luk, Yan 등은 합동인 사각형 또는 삼각형에 의한 edge-to-edge 구면 테셀레이션의 완전한 분류를 발표하였으며, 이는 플라톤 입체, 지구본(earth map) 테셀레이션, 다양한 세분화(subdivision) 및 뒤집기(flip) 변형, 산발적 테셀레이션 등을 포함한다.
역사
10세기 이슬람 학자 아부 알-와파 부즈자니(Abu al-Wafa' Buzjani)가 구면 다면체에 대한 최초의 본격적인 연구를 수행하였다. 20세기 중반 버크민스터 풀러(Buckminster Fuller)의 측지돔(geodesic dome) 연구와 콕세터(Coxeter)의 Wythoff 구성법을 통한 균일 다면체 열거 작업이 구면 테셀레이션 연구에 큰 자극을 주었다.
