정의
교차상관(cross‑correlation)은 두 개의 시간적·공간적 신호 $x(t)$와 $y(t)$ 사이의 상관 관계를, 한 신호를 일정한 시간(또는 위치)만큼 이동시킨 결과와 다른 신호 간의 내적 형태로 정량화한 함수이다. 일반적으로
$$ R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t),y(t+\tau),dt $$
또는 이산형 경우
$$ R_{xy}[k]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n];y[n+k] $$
와 같이 정의한다. 여기서 $\tau$ (또는 $k$)는 지연(또는 이동)량을 나타낸다. $\tau=0$ 일 때의 값은 두 신호의 동시 상관을 제공한다.
특징 및 성질
| 특징 | 설명 |
|---|---|
| 비대칭성 | 일반적으로 $R_{xy}(\tau) |
| eq R_{yx}(-\tau)$ 이다. | |
| 최대값 위치 | 최대값이 나타나는 $\tau$는 두 신호 간의 최적 정렬(지연)을 나타낸다. |
| 선형성 | 입력 신호가 선형 결합이면 교차상관도 동일한 선형 결합으로 표현된다. |
| 푸리에 변환과의 관계 | 푸리에 변환을 적용하면 $\mathcal{F}{R_{xy}(\tau)}=X(f),Y^{*}(f)$ 로, 한 신호의 스펙트럼과 다른 신호의 복소켤레 스펙트럼의 곱과 일치한다. |
주요 활용 분야
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신호 처리
- 시간 지연 추정 (예: 레이더, 초음파 센서)
- 신호 동기화 및 패턴 매칭
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이미지 분석
- 템플릿 매칭을 통한 객체 검출
- 이미지 정렬 및 변위 측정
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통계·계량경제학
- 두 시계열 간의 선후 관계 분석
- 변동성 및 공변량 구조 파악
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음성·오디오 처리
- 에코 제거, 음성 인식 전처리 단계에서의 정렬
관련 개념
- 자기상관 (autocorrelation): 동일 신호와 자신의 교차상관으로, $\tau$에 대한 함수가 신호의 자기유사성을 나타낸다.
- 상관 계수 (correlation coefficient): 정규화된 형태로, $-1$ ~ $1$ 범위의 값으로 두 신호의 선형 관계 강도를 나타낸다.
- 컨볼루션 (convolution): 교차상관과 유사하지만, 한 신호를 뒤집어 적용한다는 차이가 있다.
계산 방법
- 시간 영역: 직접 합산(이산형) 또는 적분(연속형) 수행.
- 주파수 영역: 푸리에 변환 후 곱셈을 이용해 효율적으로 계산 가능(FFT 기반).
참고 문헌
- Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. (1999). Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall.
- Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw‑Hill.
위와 같이 교차상관은 신호·시계열 분석에서 기본적인 도구로 널리 사용되는 개념이다.
