정의
교집합(交集合, 영어: intersection)은 집합론에서 두 집합이 공통으로 포함하는 원소들로 이루어진 집합을 뜻한다. 기호는 ∩로 표기하며, 두 집합 A와 B의 교집합은 A ∩ B로 나타낸다. 수학적 정의는 다음과 같다.
A ∩ B = { x : x ∈ A 그리고 x ∈ B }
즉, 원소 x가 A ∩ B에 속할 필요충분조건은 x가 A에도 속하고 동시에 B에도 속하는 것이다.
예시
- 두 집합 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합은 {2}이다.
- 두 집합 {★, ●, ◆}와 {●, ◆, ♥}의 교집합은 {●, ◆}이다.
- 짝수의 집합과 홀수의 집합의 교집합은 공집합(∅)이다. 이처럼 공통 원소가 전혀 없는 두 집합을 서로소 집합(disjoint sets)이라고 한다.
- 2의 배수(짝수)의 집합과 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다.
여럿의 교집합
셋 이상의 집합, 나아가 무한히 많은 집합에 대해서도 교집합을 취할 수 있다. 여러 집합의 교집합은 동시에 그들 모두의 원소인 대상들을 모아놓은 집합이다. 첨수(인덱스)를 부여하여 대형 연산자 ⋂로 나타낼 수 있다.
- ⋂ᵢ₌₁⁵ Aᵢ : A₁, A₂, A₃, A₄, A₅의 교집합
- ⋂ᵢ₌₁^∞ Bᵢ : B₁, B₂, B₃, ...의 교집합
- ⋂ᵢ∈Ⅰ Cᵢ : 첨수집합 I에 속하는 모든 i에 대한 Cᵢ의 교집합
이때 x ∈ ⋂ᵢ∈Ⅰ Cᵢ일 필요충분조건은 모든 i ∈ I에 대하여 x ∈ Cᵢ인 것이다.
표기와 시각화
벤 다이어그램(Venn diagram)에서 교집합은 여러 원(집합)이 겹친 부분으로 표현된다. 이는 교집합의 개념을 직관적으로 이해하는 데 널리 사용되는 도구이다.
성질
교집합은 다음과 같은 주요 성질을 가진다.
- 교환법칙: A ∩ B = B ∩ A
- 결합법칙: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- 분배법칙: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- 멱등법칙: A ∩ A = A
- 공집합과의 교집합: A ∩ ∅ = ∅
공리적 집합론에서의 기초
체르멜로-프렝켈 집합론(ZF 집합론)에서 교집합의 존재성은 분류 공리꼴(axiom schema of specification)에 의해 보장되며, 유일성은 확장 공리(axiom of extensionality)에 의해 보장된다. 예를 들어 두 집합 A와 B의 교집합은 ∀x (x ∈ C ⟺ (x ∈ A ∧ x ∈ B))를 만족하는 유일한 집합 C로 정의된다.
활용
교집합 개념은 순수 수학 전반의 기초가 될 뿐만 아니라, 컴퓨터 과학에서의 데이터 검색, 통계학에서의 확률 계산(사건의 교집합), 논리학에서의 논리곱(AND) 연산 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
