정의
교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 미적분학에서 양의 항과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수이다. 음이 아닌 실수의 수열 $ (a_n)_{n=0}^{\infty} $ (단, $ a_n \geq 0 $)에 대하여, 교대급수는 다음 두 형태 가운데 하나로 표현된다.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots $$ $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3 - \cdots $$
즉, 일반항이 $ (-1)^n a_n $ 또는 $ (-1)^{n+1} a_n $의 꼴로 나타나며, $ a_n $은 양의 실수이다.
교대급수 판정법
교대급수 판정법(交代級數判定法, 영어: alternating series test)은 특정 교대급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다. 음이 아닌 실수의 수열 $ (a_n) $에 대하여 다음 두 조건이 성립하면 교대급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n $은 수렴한다.
- 수열 $ (a_n) $이 단조감소수열(즉, $ a_{n+1} \leq a_n $)이다.
- $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $이다.
또한, 이 경우 다음 부등식이 성립한다.
$$ \left| \sum_{i=n}^{\infty} (-1)^i a_i \right| \leq a_n $$
교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우에 해당한다.
예시: 교대조화급수
대표적인 교대급수로 교대조화급수(alternating harmonic series)가 있다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots $$
수열 $ (1/n) $은 감소수열이며 0으로 수렴하므로, 교대급수 판정법에 의하여 이 급수는 수렴한다. 이 급수의 합은 $ \ln 2 $이며, 이는 아벨 극한 정리를 통하여 증명할 수 있다. 한편 이에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수로서 발산하므로, 교대조화급수는 조건 수렴(절대 수렴하지 않으면서 수렴)한다.
절대 수렴과 조건 수렴
교대급수는 항의 절댓값으로 이루어진 급수 $ \sum a_n $이 수렴하면 절대 수렴하며, $ \sum a_n $이 발산하지만 원래 급수는 수렴하면 조건 수렴한다. 예를 들어 $ \sum (-1)^{n-1}/n^2 $은 절대 수렴하고, $ \sum (-1)^{n-1}/n $은 조건 수렴한다.
일반화된 예시
보다 일반적으로, 교대급수 $ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p \ln^q n} $ (단, $ p, q \in \mathbb{R} $)에 대하여 다음이 성립한다.
- $ p > 1 $이거나 $ p = 1 $이고 $ q > 1 $이면 절대 수렴한다.
- $ 0 < p < 1 $이거나 $ p = 1 $이고 $ q > 0 $이면 조건 수렴한다.
- $ p \leq 0 $이면 발산한다.
어원
'교대급수'의 한자어 '交代級數'에서 '교대(交代)'는 '서로 번갈아 대신함'을 뜻하며, 이는 항의 부호가 번갈아(+ → − → + → − ...) 나타나는 급수의 성질을 반영한다. 영어 명칭 'alternating series' 역시 '번갈아 나타나는'이라는 의미의 'alternating'에서 유래하였다.
