수학에서 교대급수는 항의 부호가 양수와 음수를 번갈아가며 나타나는 급수를 말한다. 즉, 양의 항 $a_n$에 대해 다음 형태 중 하나로 표현된다.
- $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots$
- $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots$
여기서 일반적으로 $a_n > 0$이다.
교대급수 판정법 (라이프니츠 판정법)
교대급수의 수렴 여부를 판정하는 가장 중요한 도구는 교대급수 판정법 (Alternating Series Test) 또는 라이프니츠 판정법 (Leibniz Test)이다. 이 판정법에 따르면, 양의 항 $a_n$으로 이루어진 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ (또는 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n$)가 다음 세 가지 조건을 모두 만족하면 수렴한다.
- $a_n$은 모든 $n$에 대해 양수이다 ($a_n > 0$).
- $a_n$은 단조 감소한다 (즉, $a_{n+1} \le a_n$ for all $n$).
- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$이다.
이 세 조건이 만족되면, 해당 교대급수는 수렴한다.
예시
대표적인 교대급수의 예시로는 교대 조화급수가 있다.
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$
이 급수에서 $a_n = \frac{1}{n}$ 이며, 이는 다음 조건을 만족한다.
- $a_n = \frac{1}{n} > 0$이다.
- $a_n$은 $a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n} = a_n$이므로 단조 감소한다.
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$이다.
따라서 교대 조화급수는 교대급수 판정법에 의해 수렴한다 (실제로 $\ln 2$로 수렴한다). 반면, 일반 조화급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$는 발산한다.
나머지 항 추정
교대급수 판정법을 통해 수렴하는 교대급수의 경우, 급수의 합 $S$와 부분합 $S_N$의 차이 ($|S - S_N|$), 즉 나머지 항의 절댓값은 항상 다음 항의 절댓값보다 작거나 같다. 즉, $|R_N| = |S - S_N| \le a_{N+1}$이다. 이는 급수의 합을 근사할 때 오차를 추정하는 데 유용하다.
절대수렴과 조건수렴
교대급수는 절대수렴(모든 항의 절댓값으로 이루어진 급수가 수렴)할 수도 있고, 조건수렴(급수는 수렴하지만 모든 항의 절댓값으로 이루어진 급수는 발산)할 수도 있다. 교대 조화급수는 조건수렴의 대표적인 예시이다.