공집합(空集合, 영어: empty set 또는 null set)은 원소가 하나도 포함되어 있지 않은 집합을 의미한다. 수학에서는 특별히 중요한 기본 개념으로, 모든 집합론 및 수학 구조의 기초를 이룬다.
정의
공집합은 ∅ 혹은 {} 로 표기한다.
$$
\varnothing = { }
$$
어떤 명제 $P$에 대하여, “$x$가 공집합의 원소이다”라는 명제는 언제나 거짓이다. 따라서 공집합은 모든 원소에 대해 부정인 성질을 가진다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 유일성 | 집합론의 공리(특히 외부 선택 공리)로부터 원소가 없는 집합은 하나뿐이며, 따라서 공집합은 유일하다. |
| 부분집합 | 모든 집합 $A$에 대해 $\varnothing \subseteq A$ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. |
| 교집합 | 어떤 집합 $A$와의 교집합은 $\varnothing$이다. $;A \cap \varnothing = \varnothing$ |
| 합집합 | 어떤 집합 $A$와의 합집합은 $A$ 자체이다. $;A \cup \varnothing = A$ |
| 카르테시안 곱 | $\varnothing \times A = \varnothing$ (그리고 $A \times \varnothing = \varnothing$) |
| 멱집합 | $\mathcal{P}(\varnothing) = {\varnothing}$ — 공집합의 멱집합은 원소가 하나뿐인 집합이다. |
| 수학적 귀납법 | 귀납법을 적용할 때 기초 단계가 공집합에 대해 성립함을 확인한다. |
| 위상수학 | 공집합은 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. |
표기법 및 기호
- ∅ : 가장 흔히 쓰이는 기호 (Ø와는 구분한다).
- {} : 중괄호를 이용한 표기.
- $\emptyset$ : 라텍스에서 사용되는 명령어.
역사적 배경
공집합 개념은 19세기 말 독일 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 집합론에서 체계화되었다. 칸토어는 “집합이란 어떤 대상들의 모임”이라고 정의하면서, “그러한 대상이 전혀 없을 때의 모임”을 공집합으로 명시하였다. 이후 러시아 수학자 니콜라이 브르와르스키(Nikolai B. Brunskii)와 폴 힐베르트(Paul Hilbert) 등도 공집합을 기초 공리 체계에 포함시켰다.
예시
- 정수 집합에서 양수이면서 짝수인 수: ${ n \in \mathbb{Z} \mid n>0 \text{ 그리고 } n \text{는 짝수} \text{ 그리고 } n<0 }$ 은 불가능하므로 공집합이다.
- 실수 구간 $(0,1)$과 $[2,3]$의 교집합: 두 구간은 겹치지 않으므로 $(0,1) \cap [2,3] = \varnothing$.
응용
- 논리학: “모든 $x$가 P(x)라면, 공집합에 속한 $x$는 P(x)이다”는 진리(진리값이 참)이다.
- 컴퓨터 과학: 자료구조에서 빈 리스트, 빈 배열, 빈 해시맵 등은 공집합과 동형인 구조로 다루어진다.
- 확률론: 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$에서 사건이 공집합이면 그 확률은 $0$이다.
요약
공집합은 원소가 전혀 없는 유일한 집합이며, 모든 집합의 부분집합이다. 수학 전반에 걸쳐 기본적인 연산 규칙(교집합·합집합·멱집합 등)과 위상, 논리, 확률 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다.