곱하기는 산술의 사칙연산 중 하나로, 어떤 수를 거듭하여 더하는 연산을 의미한다. 수학 용어로는 곱셈(乘法, multiplication)이라고 하며, 연산의 결과를 곱(product)이라 부른다. 주로 '×' 또는 '·' 기호로 표기하며, 컴퓨터 연산에서는 별표 '*'를 사용하기도 한다.
정의 자연수 범위에서 곱하기는 덧셈의 반복으로 정의된다. 예를 들어 4 × 3은 3을 4번 반복하여 더한 것, 즉 3 + 3 + 3 + 3 = 12와 같다. 곱해지는 두 수를 인수(factor)라고 하며, 앞의 수를 피승수(被乘數, multiplicand), 뒤의 수를 승수(乘數, multiplier)라고 구분하기도 한다. 교환법칙이 성립하므로 순서에 관계없이 결과는 같다.
표기법
- × : 1631년 영국의 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)가 저서 《수학의 열쇠》에서 처음 사용하였다.
- · : 독일의 수학자 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)가 × 기호가 미지수 x와 혼동된다는 이유로 대안으로 제안하였다.
- 생략 : 대수학에서 문자와 문자, 숫자와 문자 사이에서는 곱셈 기호를 생략할 수 있다(예: 7x, ab, 2(1+6)).
성질 곱하기는 다음과 같은 기본 성질을 만족한다.
- 교환법칙: a × b = b × a
- 결합법칙: (a × b) × c = a × (b × c)
- 분배법칙: a × (b + c) = a × b + a × c
- 항등원: 어떤 수에 1을 곱하면 그 수 자체가 된다.
- 흡수원: 어떤 수에 0을 곱하면 0이 된다.
수의 범위에 따른 확장
- 정수: 부호가 없는 듯이 곱한 뒤, 양수×양수=양수, 양수×음수=음수, 음수×음수=양수의 규칙에 따라 부호를 붙인다.
- 유리수: 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다.
- 실수: 실수의 완비성을 바탕으로 정의되며, 데데킨트 절단 등을 통해 엄밀하게 구성된다.
- 복소수: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i로 계산되며, 기하학적으로는 회전의 의미를 포함한다.
일반화 곱하기는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수를 넘어 행렬, 함수, 벡터 등 더 일반적인 대상에 대해서도 정의된다. 군(group)과 같은 추상대수 구조에서의 이항연산도 널리 곱셈으로 불린다. 곱셈의 역연산은 나눗셈이며, 같은 수를 여러 번 곱하는 연산은 거듭제곱으로 확장된다.
역사 고대 이집트(기원전 2000년경)와 바빌로니아에도 곱셈에 관한 기록이 남아 있다. 이집트인은 '2배 하기'와 '10배 하기'를 이용하였고, 바빌로니아인은 곱셈표를 사용하였다. 현대적인 곱셈 기호 ×는 1631년에야 등장하였으며, 19세기 후반부터 널리 사용되기 시작하였다.
