곡선(曲線, 영어: curve)은 수학에서 1개의 변수로 표현할 수 있는 1차원적인 도형을 의미한다. 일상적인 용어로는 '끊어지지 않고 휘어 있는 선'을 가리키지만, 수학적인 의미에서 곡선은 직선이나 선분도 포함하며, 원이나 포물선 등도 곡선의 예에 해당한다.
개념과 정의
간단하게 생각하면 곡선은 점이 이동하면서 남기는 자취(궤적)로 볼 수 있다. 기원전 2000여 년 전 유클리드는《원론》에서 이러한 방식으로 곡선을 정의하였다. 현대 수학에서는 구간(interval)에서 어떤 위상 공간(topological space)으로 사상하는 연속 함수의 상(image)으로 곡선을 정의한다. 이때 주어진 함수가 곡선을 매개변수화(parameterization)한다고 말하며, 따라서 곡선을 매개변수곡선(parametric curve)이라고도 표현한다.
형식적 정의
실수 범위에서의 구간 $I$와 위상 공간 $X$가 있을 때, 곡선 $\gamma$는 연속 함수 $\gamma: I \to X$이다. $\gamma$의 상(image)을 곡선으로 정의하기도 한다.
- $I = [a, b]$이고 $\gamma(a) = \gamma(b)$인 경우 닫힌 곡선(closed curve) 또는 폐곡선이라고 한다.
- 단사 함수(injective function)인 곡선을 단순 곡선(simple curve)이라고 한다. 정의역 구간이 폐구간인 경우, 양 끝점에 사상되는 두 점이 같아도 단순 곡선으로 본다.
- $X$가 평면($\mathbb{R}^2$)인 곡선을 평면 곡선(plane curve), $X$가 3차원 공간($\mathbb{R}^3$)인 곡선을 공간 곡선(space curve)이라고 한다.
- 평면 위의 단순 폐곡선을 조르당 곡선(Jordan curve)이라고 부르며, 조르당 곡선 정리는 조르당 곡선이 평면을 두 부분(내부와 외부)으로 분할한다는 정리이다.
곡선의 종류 (예시)
수학 및 공학에서 다루는 주요 곡선으로는 다음과 같은 것들이 있다.
| 곡선 종류 | 설명 |
|---|---|
| 직선 | 곡률이 0인 곡선 |
| 원 | 일정한 곡률을 가진 닫힌 곡선 |
| 원뿔곡선(이차곡선) | 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 통칭 |
| 사인곡선(sine curve) | 삼각함수 $y = \sin x$의 그래프 |
| 사이클로이드(cycloid) | 원이 직선 위를 구를 때 원 위의 한 점이 그리는 곡선 |
| 현수선(catenary) | 양 끝이 고정된 줄이 중력에 의해 늘어져서 이루는 곡선 |
| 베지에 곡선(Bézier curve) | 컴퓨터 그래픽스에서 널리 사용되는 곡선 |
| 코흐 곡선(Koch curve) | 프랙탈(fractal) 곡선의 일종 |
| 페아노 곡선(Peano curve) | 공간을 채우는 곡선(space-filling curve) |
| 정규분포 곡선 | 통계학에서 정규분포의 확률밀도함수 그래프 |
곡선의 길이와 곡률
미분기하학에서 곡선의 중요한 성질로 곡선의 길이(arc length)와 곡률(curvature)이 있다. 곡률은 곡선이 얼마나 급격하게 휘어져 있는지를 나타내는 척도이다. 직선의 곡률은 0이며, 원의 곡률은 반지름의 역수와 같다.
활용 분야
곡선은 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스, 건축, 천문학 등 광범위한 분야에서 활용된다. 예를 들어 케플러의 법칙에 따르면 행성의 궤도는 타원(이차곡선)이며, GPS 시스템에서는 위성의 거리 정보를 이용한 삼각측량에 기하학적 곡선 개념이 사용된다. 또한 컴퓨터 그래픽스에서는 베지에 곡선과 스플라인 곡선이 글꼴 디자인과 3D 모델링에 필수적으로 사용된다.
