곡면(曲面, surface)은 수학에서 2차원의 굽은 기하학적 모양을 뜻한다. 3차원 공간 속에 존재하는 휘어진 2차원 공간으로, 단순히 눈으로 볼 수 있는 껍질이나 경계가 아니라 그 자체가 하나의 기하학적 대상이다.
정의
일반적으로 곡면은 2차원 다양체(manifold)이다. 수학의 여러 분야에서는 "곡면"이 보다 구체적인 의미를 갖는다.
- 미분기하학에서 곡면은 국소적으로 유클리드 평면과 닮은 2차원 리만 다양체를 의미한다. 거의 모든 점에서 연속적인 곡면상의 임의의 점에서 해당 점에 접하는 평면이라는 형태로 정의된다. 매끄러운(smooth) 곡면은 해당 영역 내의 모든 점에서 편미분이 연속된 값을 가지는 경우를 말한다.
- 대수기하학에서 곡면은 보통 대수 곡면(algebraic surface)을 뜻한다.
- 초등 기하학에서는 유클리드 공간으로의 매장(embedding)을 가정한 경우도 있다.
곡면의 핵심적인 특징은 그것이 어느 점에서나 국소적으로는 평면과 같다는 점이다. 즉, 곡면 위의 충분히 작은 영역을 확대하면 평면에 가깝게 보인다.
예시
- 구(球, sphere): 가장 대표적인 곡면으로, 모든 점이 중심으로부터 같은 거리에 있는 폐곡면이다.
- 유클리드 평면 ℝ²: 휘어지지 않은 가장 단순한 곡면이다.
- 원환면(토러스, torus): 도넛 모양의 곡면으로, 구멍이 하나 있는 곡면이다.
- 원통의 옆면: 휘어진 형태의 곡면이다.
- 클라인 병(Klein bottle): 3차원 유클리드 공간으로 매장할 수 없는 곡면의 예이다. 방향성을 가지지 않는 곡면으로, 내부와 외부의 구분이 없다.
관련 개념
곡면은 곡선(curve)의 개념을 2차원으로 확장한 것이며, 다양체(manifold)의 특수한 경우에 해당한다. 미분기하학에서는 미적분학의 도구를 사용하여 곡면의 넓이와 곡률(curvature)을 계산하고 분석하는데, 곡률은 곡면이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 지표이다.
