수학에서 계단 함수(階段函數, 영어: step function) 또는 조각마다 상수 함수(piecewise-constant function)는 정의역을 적절한 유한 개의 구간으로 분할하였을 때, 각 구간에서 상수 함수가 되는 함수이다. 그래프의 형태가 계단 모양과 닮았다고 하여 이러한 명칭이 붙었다.
정의
계단 함수는 구간의 지시 함수(indicator function)들의 유한 선형 결합으로 표현된다. 실수의 부분집합 $ A \subseteq \mathbb{R} $에 대한 지시 함수 $ 1_A $는 다음과 같이 정의된다.
$$ 1_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A \ 0 & x \in \mathbb{R} \setminus A \end{cases} $$
이를 바탕으로 계단 함수 $ s: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
$$ s = \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{I_k} = c_1 1_{I_1} + \cdots + c_n 1_{I_n} $$
여기서 $ c_1, \dots, c_n \in \mathbb{R} $은 실수 상수이며, $ I_1, \dots, I_n \subseteq \mathbb{R} $은 실수 구간들이다.
성질
계단 함수는 유한 개의 불연속점을 가질 수 있으며, 불연속점을 제외한 모든 점에서 미분 가능하고 그 미분값은 0이다. 두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이며, 따라서 구간 위의 계단 함수 집합은 실수체 위의 대수(algebra)를 이룬다. 계단 함수의 부정적분은 조각마다 일차 함수(piecewise-linear function)가 된다. 르베그 적분의 관점에서 계단 함수의 적분은 각 구간의 길이에 상수를 곱한 값의 합으로 계산된다.
대표적인 예
가장 널리 알려진 계단 함수로는 단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 함수(Heaviside function)가 있다. 이는 19세기 영국의 수학자이자 전기공학자인 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)가 전기회로의 미분방정식을 풀기 위해 고안한 함수로, 라플라스 변환 기법과 밀접하게 연관된다. 단위 계단 함수는 특정 임계값을 기준으로 0에서 1로 값이 변화하며, 공학, 신호처리, 제어 이론 등 다양한 분야에서 응용된다.
또한 인공신경망 분야에서는 퍼셉트론(perceptron)의 활성화 함수로 계단 함수가 초기에 사용되었다. 입력값이 임계값을 넘으면 1, 넘지 못하면 0을 출력하는 방식으로, 이는 이진 분류를 수행하는 가장 단순한 형태의 활성화 함수이다.
같이 보기
- 단위 계단 함수
- 시그모이드 함수
- 단순 함수(simple function)
- 헤비사이드 함수
