경계다양체(境界多樣體, 영어: manifold-with-boundary)는 미분기하학과 위상수학에서 다루는 수학적 개념으로, 국소적으로 유클리드 공간 또는 유클리드 반(半)공간에 위상동형인 위상 공간이다. 이는 다양체(manifold)의 개념을 일반화한 것으로, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다는 점이 특징이다.
정의
자연수 n에 대하여, n차원 경계다양체는 다음 조건을 만족시키는 하우스도르프 파라콤팩트 위상 공간 X이다. X의 임의의 점 x에 대하여, x의 열린 근방이 유클리드 공간 Rⁿ의 열린집합과 위상동형이거나, 또는 유클리드 반공간 Rⁿ⁻¹ × R≥₀의 열린집합과 위상동형이다. 이때 전자의 조건을 만족하는 점들은 다양체의 내부를, 후자의 조건에서 반공간의 경계에 해당하는 점들은 경계다양체의 경계를 구성한다.
경계다양체 X의 경계는 ∂X로 표기하며, X \ ∂X(경계를 제외한 내부)는 n차원 다양체를 이루고, ∂X 자체는 n-1차원 다양체를 이룬다.
예시
- 유한한 높이의 원기둥은 2차원 경계다양체를 이루며, 그 경계는 두 개의 원(윗면과 아랫면의 테두리)으로 구성된다.
- 유클리드 공간 Rⁿ 속의 닫힌 공(closed ball)은 n차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 (n-1)차원 초구( sphere )이다. 닫힌 공은 다양체가 아닌 경계다양체의 대표적인 예이다.
- 1차원의 경우, 닫힌구간 [a, b]는 경계다양체를 이루며, 그 경계는 양 끝점 {a, b}이다.
매끄러운 경계다양체
국소 좌표계(atlas)가 주어진 경계다양체를 매끄러운 경계다양체(smooth manifold-with-boundary)라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다.
이중 다양체
임의의 n차원 경계다양체 X에 대하여, X의 두 복사본을 경계에서 붙여(이중화, doubling) 얻은 공간 Ẋ은 항상 n차원 다양체(경계 없는 다양체)를 이룬다. 이 Ẋ를 X의 이중 다양체(double manifold)라고 한다.
포함 관계
다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드(orbifold)
모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 그러나 이름과 달리 모든 경계다양체가 다양체인 것은 아니다. 즉, 경계를 가지는 경계다양체는 다양체가 아니다.
용어상의 혼동
일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 경계가 없는 통상적인 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 구분하여 부르기도 한다.
