정의
결합 대수(Associative algebra)는 한 필드(또는 링) 위에 정의된 벡터 공간(또는 모듈) $A$와 그 위에 정의된 이항 연산인 곱셈 $\cdot : A \times A \to A$가 다음 조건을 만족하는 구조를 말한다.
-
벡터 공간(또는 모듈) 구조
$(A,+,\lambda)$는 주어진 필드 $K$에 대한 벡터 공간이며, 스칼라 곱 $\lambda \cdot a$가 정의되어 있다. -
곱셈의 결합법칙
$\forall a,b,c \in A,;(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$. -
분배법칙
$\forall a,b,c \in A,;a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$ 및 $(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$. -
스칼라와의 호환성
$\forall \alpha \in K,;a,b \in A,;\alpha (a\cdot b) = (\alpha a)\cdot b = a\cdot (\alpha b)$.
위 조건을 모두 만족하면 $,A$는 결합 대수라 한다. 만약 단위원소 $1_A$가 존재하여 $\forall a\in A,;1_A\cdot a = a\cdot 1_A = a$를 만족하면 단위가 있는 결합 대수(unital associative algebra)라고 불린다.
주요 예시
| 예시 | 설명 |
|---|---|
| 행렬 대수 $M_n(K)$ | $n \times n$ 행렬들의 집합은 행렬덧셈, 스칼라곱, 행렬곱으로 결합 대수를 이룬다. |
| 다항식 대수 $K[x]$ | 변수 $x$에 대한 다항식들의 집합은 다항식 덧셈과 곱셈으로 결합 대수다. |
| 군 대수 $\mathbb{C}[G]$ | 유한군 $G$의 군 대수는 복소수 계수의 형식적 선형 결합으로 구성된다. |
| 리 대수와 그 보편 포획 대수 | 리 대수는 보통 결합 대수가 아니지만, 보편 포획 대수 $U(\mathfrak{g})$는 결합 대수이다. |
성질 및 활용
- 표현 이론: 결합 대수의 모듈(또는 표현)은 대수 구조를 선형 변환으로 구현하는 방법을 제공한다. 예컨대, 군 대수 $\mathbb{C}[G]$의 모듈은 군 $G$의 복소수 표현과 동등하다.
- 호몰로지 이론: 결합 대수는 사슬 복합(complex)과 호몰로지/코호몰로지 이론을 정의하는 기본적인 대수적 무대를 제공한다.
- 양자역학 및 물리학: 관측량을 나타내는 연산자들의 집합은 보통 힐베르트 공간 위의 결합 대수(예: C*-대수)로 모델링된다.
- 대수적 위상수학: 코호몰로지 대수, 데런 대수 등은 모두 결합 대수 구조를 갖는다.
관련 개념
- 비결합 대수: 곱셈이 결합법칙을 만족하지 않는 대수, 예를 들어 리 대수는 반대칭성을 만족하지만 일반적으로 결합되지 않는다.
- 알제브라(Algebra): 일반적으로 필드 위에 정의된 벡터 공간에 대수적 연산(덧셈·스칼라곱·곱셈)이 추가된 구조를 의미한다. 결합 대수는 그 중 하나의 특수한 경우이다.
어원 및 용어
‘결합’은 곱셈 연산이 결합법칙(associativity)을 만족한다는 뜻이며, ‘대수’는 algebra의 한국어 번역이다. 따라서 ‘결합 대수’는 ‘associative algebra’를 직역한 용어이다.
참고 문헌
- S. Lang, Algebra, Springer, 3rd ed., 2002.
- J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1972.
- N. Bourbaki, Algebra I. Chapters 1–3, Springer, 1998.
