격자 게이지 이론(영어: Lattice gauge theory)은 물리학, 특히 입자물리학과 통계물리학에서 사용되는 이론적 방법론으로, 시공간을 이산적인 격자(lattice)로 이산화한 뒤 그 위에서 게이지 이론을 연구하는 접근법이다. 게이지 이론은 양자 전기역학, 양자 색역학(QCD), 그리고 입자물리학의 표준 모델을 포함하는 현대 입자물리학의 핵심 이론 체계이다.
배경과 동기
연속적인 시공간에서의 비섭동(non-perturbative) 게이지 이론 계산은 공식적으로 다루기 어려운 무한 차원의 경로 적분 계산을 수반한다. 시공간을 이산적인 격자로 나누면 경로 적분이 유한 차원이 되어, 몬테카를로 방법과 같은 확률론적 시뮬레이션 기법으로 계산할 수 있게 된다. 격자의 간격이 무한히 작아지고 격자점의 수가 무한히 많아지는 극한에서 연속체 게이지 이론이 회복된다.
기초 구조
격자 게이지 이론에서 시공간은 윅 회전(Wick rotation)을 통해 유클리드 공간으로 변환되며, 일정한 간격 a로 분리된 격자점들로 이산화된다. 격자점들은 링크(link)로 연결된다. 격자 양자 색역학의 경우, 페르미온 장은 격자점(사이트)에서 정의되고 게이지 장은 링크에 정의된다. 각 링크에는 컴팩트 리 군(리 대수가 아닌)의 원소 U가 할당된다. 예를 들어 SU(3) 군을 사용하는 양자 색역학의 경우 각 링크에 3×3 유니터리 행렬이 정의된다. 링크에는 방향이 지정되며, 역원은 반대 방향의 동일한 링크에 해당한다.
경로를 따라 링크의 군 원소들을 순서대로 곱한 것은 경로 지수(기하학적 적분)에 해당하며, 닫힌 경로에 대해서는 윌슨 고리(Wilson loop) 값을 계산할 수 있다.
양-밀스 작용
양-밀스 작용은 격자 간격 a가 0으로 가는 극한에서 원래의 연속체 작용을 형식적으로 재현하도록 윌슨 고리를 사용하여 격자 위에 기술된다. 가장 간단한 형태는 1×1 윌슨 고리만을 사용하는 윌슨 작용(Wilson action)이다. 더 복잡한 윌슨 고리를 사용하여 "향상된 작용"을 구성하면 격자 인공물(lattice artifact)의 크기를 줄일 수 있어 계산의 정확도가 높아진다.
측정과 계산
입자 질량과 같은 물리량은 몬테카를로 방법 등의 확률론적 기법으로 계산된다. 게이지 장 구성은 격자 작용에 비례하는 확률로 생성되며, 관심 있는 물리량은 각 구성에 대해 계산된 뒤 평균화된다. 격자 간격 a를 변화시키며 계산을 반복하고 결과를 연속체 극한으로 외삽하는 방식이 일반적으로 사용된다.
이러한 계산은 극도로 계산 집약적이며, 대규모 슈퍼컴퓨터가 필요할 수 있다. 초기에는 페르미온 장을 비동적 "동결" 변수로 처리하는 담금질(quenched) 근사법이 사용되었으나, 현재는 동역학적 페르미온을 포함하는 계산이 표준이 되었다. 격자 양자 색역학 계산은 중간자 내부에서 쿼크와 반쿼크뿐만 아니라 글루온 장의 "자속관"(flux tube)도 중요함을 보여주었다.
양자적 자명함 연구
격자 게이지 이론은 실공간 재규격화군의 양자적 자명함(triviality) 연구에도 사용된다. 재규격화군 흐름에서 고정점이 자유장론에 해당하면 해당 이론은 자명하거나 상호작용하지 않는다고 한다. 격자 힉스 이론 연구에는 수많은 고정점이 나타나지만, 이들과 관련된 양자장론의 본질은 여전히 미해결 문제로 남아 있다. 자명함은 아직 엄격하게 증명되지 않았으나, 격자 계산은 이에 대한 강력한 증거를 제공했다. 이는 힉스 보손의 질량과 같은 매개변수를 제한하거나 예측하는 데 중요하다.
역사와 기타 응용
격자 게이지 이론의 핵심적 기틀은 1974년 케네스 윌슨(Kenneth Wilson)이 제시한 게이지 장의 격자 위 공식화에서 비롯되었다. 한편, 원래 해결 가능한 2차원 격자 게이지 이론은 1971년 프란츠 베그너(Franz Wegner)에 의해 상전이 분야에서 흥미로운 통계적 특성을 갖는 모델로 소개된 바 있다. 1×1 윌슨 고리만 작용에 나타날 때 격자 게이지 이론은 스핀 폼 모델과의 이중성(duality) 관계로 나타날 수 있다.
격자 게이지 이론은 입자물리학 외에도 응집물질물리학, 통계물리학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 비섭동적 영역에서의 양자장론 예측을 위한 유일한 모델 독립적 도구로 평가된다.
