클럽 경력 킨클라제는 조지아의 명문 클럽인 디나모 트빌리시에서 프로 경력을 시작했다. 그는 이른 나이부터 뛰어난 재능을 선보이며 팀의 핵심 선수로 자리매김했으며, 1992년부터 1995년까지 팀의 리그 우승을 이끌었다. 짧은 기간 스페인의 보카 주니어스와 독일의 뒤셀도르프에서도 뛰었으나, 본격적인 유럽 무대에서의 명성은 잉글랜드 이적 후 얻게 되었다.
맨체스터 시티 1995년, 킨클라제는 잉글랜드 프리미어리그의 맨체스터 시티로 이적하며 유럽 축구계의 주목을 받기 시작했다. 당시 맨체스터 시티는 어려운 시기를 겪고 있었으나, 킨클라제는 팀의 에이스로서 홀로 경기를 지배하는 듯한 개인 능력을 여러 차례 선보였다. 특히 그의 현란한 드리블과 환상적인 골은 팬들의 찬사를 받았으며, 강등권에 허덕이던 팀의 '컬트 영웅(cult hero)'으로 등극했다. 그는 팀이 2부 리그로 강등되는 상황에서도 잔류를 선택하며 충성심을 보여주기도 했으나, 결국 1998년 네덜란드의 아약스로 이적하게 된다. 맨체스터 시티에서 그는 총 80경기 이상 출전하여 20골을 기록했다.
아약스 및 기타 클럽 아약스에서는 맨체스터 시티 시절만큼의 꾸준한 활약을 보여주지는 못했다. 이후 그는 더비 카운티(임대 및 완전 이적), 보카 주니어스(임대), 안오르토시스 파마구스타(키프로스), 루빈 카잔(러시아) 등 여러 클럽을 거치며 선수 생활을 이어갔고, 2006년 러시아의 아노지스에서 은퇴했다.
국가대표 경력 킨클라제는 조지아 축구 국가대표팀에서도 핵심적인 역할을 수행했다. 1992년부터 2000년까지 국가대표로 활약하며 총 57경기에 출전하여 8골을 기록했다. 그는 조지아의 황금 세대의 일원으로 평가받으며, 국제 무대에서도 그의 뛰어난 기술을 선보였다.
플레이 스타일 킨클라제는 당대 최고의 드리블러 중 한 명으로 평가받았다. 낮은 무게중심과 민첩성을 바탕으로 수비수들을 제쳐내는 능력이 탁월했으며, 번뜩이는 패스와 날카로운 슈팅력도 겸비했다. 그의 예측 불가능한 플레이는 상대 수비수들에게는 악몽과 같았으며, 축구 팬들에게는 보는 즐거움을 선사했다. 종종 "조지아의 마라도나"라는 별명으로 불리기도 했다. 그는 팀의 전술적인 틀보다는 개인의 재능으로 경기를 풀어가는 스타일이었으며, 이러한 점이 맨체스터 시티 팬들에게 깊은 인상을 남긴 요인이 되었다.
은퇴 후 선수 은퇴 후에는 축구와 관련된 다양한 활동을 이어가고 있는 것으로 알려져 있다.