감마 분포(英: Gamma distribution)는 연속 확률분포 중 하나로, 양의 실수 값을 갖는 확률변수 X가 특정한 형태의 확률밀도함수(pdf)를 따르는 경우를 말한다. 감마 분포는 두 개의 모수 k(형상 모수, shape)와 θ(척도 모수, scale)로 정의되며, k > 0, θ > 0인 경우에 다음과 같은 확률밀도함수를 가진다.
$$ f(x;k,\theta)=\frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k),\theta^{k}},\qquad x>0 $$
여기서 Γ(k) 는 감마 함수이며, k와 θ는 각각 형상(mod)와 척도(scale) 모수라 불린다. 동일한 분포를 율(rate) 모수 λ (λ = 1/θ)로 파라미터화하기도 하며, 이 경우
$$ f(x;k,\lambda)=\frac{\lambda^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)},\qquad x>0 $$
의 형태를 가진다.
주요 성질
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 평균(E[X]) | k θ |
| 분산(Var[X]) | k θ² |
| 표준편차 | √(k) θ |
| 모멘트 생성 함수(MGF) | $(1-\theta t)^{-k}$ (t < 1/θ) |
| 누적분포함수(CDF) | $F(x;k,\theta)=\dfrac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}$ (여기서 γ는 하위 감마 함수) |
- k = 1이면 감마 분포는 지수 분포와 동일하다.
- k가 정수인 경우, 감마 분포는 Erlang 분포라 불리며, k개의 독립적인 지수 분포를 갖는 랜덤 변수들의 합으로 해석된다.
- k = ν/2, θ = 2 로 두면 χ²(카이제곱) 분포와 동일한 형태가 된다.
역사
감마 함수 Γ(·)는 레온하르트 오일러가 18세기 말에 정의했으며, 이 함수를 이용한 분포 형태는 1895년 카를·피어슨(Karl Pearson)이 제시한 Pearson Type III 분포에 포함된다. 이후 20세기 초에 감마 분포라는 이름이 정착했으며, 통계학·확률론에서 널리 활용된다.
응용 분야
- 베이지안 통계: 포아송 프로세스의 발생률(λ)이나 지수 분포의 척도 파라미터에 대한 사전분포로 사용된다(공액 사전분포).
- 신뢰도 공학: 제품·시스템의 고장 시간 모델링에 적용된다.
- 대기·수문학: 강우량·유량의 통계적 특성 분석에 이용된다.
- 대기통신·대기과학: 레이더 반사 신호의 강도·스펙트럼 모델링에 활용된다.
관련 분포
- 지수 분포(k = 1)
- Erlang 분포(k ∈ ℕ)
- χ² 분포(k = ν/2, θ = 2)
- 베타 분포, 디리클레 분포 등과 함께 베이지안 통계에서 공액 관계를 이루는 경우가 있다.
참고 문헌
- A. F. M. Cox, The Gamma Distribution, Journal of the Royal Statistical Society, 1965.
- S. M. Ross, Introduction to Probability Models, 11th ed., Academic Press, 2020.
- K. Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution, Phil. Trans. Royal Soc. A, 1895.
See also: 확률분포, 포아송 분포, 베타 분포, 베이지안 추정.