갈루아 군(Galois group)은 추상대수학, 특히 갈루아 이론에서 정의되는 수학적 개념으로, 체의 확대에 대응되는 군(group)이다. 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)가 다항식 방정식의 가해성(solvability) 문제를 연구하는 과정에서 도입하였다.
정의
체의 확대 L/K가 주어졌을 때, L의 자기 동형사상(self-isomorphism) f: L → L 가운데 기저 체 K의 모든 원소를 고정시키는, 즉 모든 k ∈ K에 대하여 f(k) = k를 만족하는 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군을 체의 확대 L/K의 자기 동형군 Aut(L/K)라고 한다. 만약 L/K가 갈루아 확대(Galois extension)일 경우, 이 자기 동형군을 갈루아 군이라고 하며 Gal(L/K)로 표기한다.
갈루아 확대는 대수적 확대이면서 동시에 정규 확대(normal extension)이고 분해 가능 확대(separable extension)인 체의 확대를 말한다. 유한 확대 L/K에 대하여, 갈루아 군의 위수(order)는 확대의 차수 [L:K]와 같다.
절대 갈루아 군
체 K의 분해 가능 폐포(separable closure) K^sep의 자기 동형군 Gal(K^sep/K)을 K의 절대 갈루아 군(absolute Galois group)이라고 하며 Gal K로 표기한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 Spec K의 에탈 기본군(étale fundamental group)과 표준적으로 동형이다. 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군으로 나타낼 수 있다.
갈루아 군의 위상
갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군(profinite group)의 구조를 가지며 위상군(topological group)이 된다. 이는 유한군들의 역극한(inverse limit)으로 표현되며, 이 위상을 크룰 위상(Krull topology)이라고 한다.
갈루아 이론의 기본 정리
갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory)에 따르면, 갈루아 확대 L/K에 대하여 L과 K 사이의 중간체(intermediate field)들의 격자와 갈루아 군 Gal(L/K)의 닫힌 부분군들의 격자 사이에 포함 관계를 역전시키는 표준적인 전단사 대응(bijection)이 존재한다. 구체적으로, 부분군 H에 대응하는 중간체는 H의 모든 원소에 의해 고정되는 L의 원소들로 이루어진 고정체(fixed field)이며, 반대로 중간체 M에 대응하는 부분군은 M의 모든 원소를 고정시키는 자기 동형사상들로 이루어진 군 Gal(L/M)이다.
갈루아 코호몰로지
갈루아 군의 군 코호몰로지(group cohomology)는 여러 흥미로운 정보를 담고 있으며, 이는 체 K의 스펙트럼 Spec K의 에탈 코호몰로지(étale cohomology)와 같다. 갈루아 코호몰로지는 대수적 수론과 산술 기하학에서 중요한 도구로 사용된다.
예시
- 임의의 체 K에 대하여 Gal(K/K)는 자명군(trivial group)이다.
- Gal(Q(√2)/Q)은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 a+b√2 ↦ a-b√2로 구성된다.
- 실수체의 절대 갈루아 군 Gal(C/R)은 2차 순환군 Z/2이며, 항등 함수와 복소 켤레 사상으로 이루어진다.
- 유리수체의 절대 갈루아 군 Gal(Q̄/Q)은 무한군이며, 그 직접적인 묘사는 현재까지 알려져 있지 않다. 다만 벨리의 정리(Belyi's theorem)에 따르면 이 군은 데생당팡(dessin d'enfant)의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용(faithful action)을 갖는다.
- 유한체 F_q의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화 Ẑ와 동형이며, 프로베니우스 자기 동형(Frobenius automorphism) x ↦ x^q가 위상 생성원을 이룬다.
응용
갈루아 군은 다항식 방정식이 거듭제곱근(radical)만으로 풀 수 있는지 여부를 판별하는 데 사용된다. 유리수체 위의 다항식의 분해체(splitting field)에 대한 갈루아 군이 가해군(solvable group)일 때 그 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 있다. 일반적인 5차 이상의 방정식은 갈루아 군이 대칭군 S_n(n≥5)으로서 가해군이 아니므로 거듭제곱근만으로 풀 수 없으며, 이를 아벨-루피니 정리(Abel-Ruffini theorem)라고 한다. 또한 갈루아 군은 고전 기하학의 작도 가능성 문제(각의 삼등분, 정육면체 배적 문제 등)를 해결하는 데에도 적용된다.
