정의
갈루아 군(Galois group)은 주어진 체의 확장에 대응하여 정의되는 군으로, 해당 체 확장의 자기동형사상들로 구성된다. 즉, 체 확장 L/K에 대해, L의 자기동형사상 중 K의 원소들을 고정시키는 것들의 집합은 군을 이루며, 이를 K 위의 L의 갈루아 군이라 한다. 기호로는 Gal(L/K)로 나타낸다.
개요
갈루아 군은 갈루아 이론의 핵심 개념으로, 체 확장의 대칭 구조를 탐구하는 데 사용된다. 이 군은 다항방정식의 해의 대칭성과 관련이 있으며, 방정식이 군의 구조에 따라 해의 공식(근의 공식)으로 표현될 수 있는지를 판단하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 유리계수를 가진 5차 이상의 일반 다항식이 근의 공식으로 풀리지 않는다는 아벨-루피니 정리는 갈루아 군의 ‘가해성(solubility)’과 깊은 관련이 있다.
특히, 정규확장이면서 분해 가능 확장인 경우, 갈루아 확장이라고 하며, 이 경우 갈루아 군의 차수(군의 원소 개수)는 체 확장의 차수와 일치한다. 갈루아 군을 통해 체 확장의 부분확장들과 군의 부분군 사이에 일대일 대응 관계(갈루아 대응)가 성립함을 알 수 있다.
어원/유래
‘갈루아 군’은 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아(Évariste Galois, 1811–1832)의 이름에서 유래하였다. 갈루아는 다항방정식의 가해성 문제를 해결하기 위해 군의 개념을 체 이론과 연결하는 기초를 마련하였으며, 생전에는 그 업적이 주목받지 못했으나 사후에 후대 수학자들에 의해 체계화되어 ‘갈루아 이론’이라는 독립된 분야로 발전하였다.
특징
- 갈루아 군은 군의 구조로서 체 확장의 대칭성을 수학적으로 표현한다.
- 갈루아 군의 구조가 아벨 군이면 해당 확장은 아벨 확장이라 하며, 수 이론에서 중요한 역할을 한다.
- 갈루아 군이 가해군이면, 해당 다항식은 근호를 사용하여 풀릴 수 있다.
- 유한 체 위의 갈루아 군은 순환군의 구조를 가진다.
- 무한 체 확장의 경우, 갈루아 군에는 크룰 위상(Krull topology)이 부여되어 위상군을 이룬다.
관련 항목
- 갈루아 이론
- 체 확장
- 자기동형사상
- 가해군
- 아벨 군
- 다항식의 가해성
- 정규확장
- 분해 가능 확장
- 갈루아 대응