가환환(可換環, 영어: commutative ring)은 추상대수학에서 환(ring)의 조건 중 곱셈에 대한 교환 법칙(commutative law)을 추가로 만족시키는 대수적 구조이다. 즉, 환 $R$의 임의의 두 원소 $r, s$에 대하여 $rs = sr$이 성립하는 환을 가리킨다.
정의
환 $(R, +, \cdot, 0, 1)$은 덧셈에 대하여 아벨 군(abelian group)을 이루고, 곱셈에 대하여 모노이드(monoid)를 이루며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배 법칙이 성립하는 대수 구조이다. 여기에서 곱셈이 추가로 교환 법칙을 만족할 경우, 즉 $(R, \cdot, 1)$이 가환 모노이드(commutative monoid)를 이룰 때 $R$을 가환환이라고 한다. 곱셈에 대한 항등원(단위원, unity) 1이 존재하지 않는 유사환(pseudo-ring, rng)의 경우에도 곱셈이 교환 법칙을 만족하면 가환 유사환(commutative pseudo-ring)이라 부른다.
예시
가환환의 대표적인 예로는 정수환 $\mathbb{Z}$, 유리수체 $\mathbb{Q}$, 실수체 $\mathbb{R}$, 복소수체 $\mathbb{C}$ 등 모든 체(field)가 있다. 또한 계수가 가환환인 다항식환(polynomial ring), 정수 modulo $n$의 잉여환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, p진 정수환 $\mathbb{Z}_p$ 등도 가환환에 속한다. 반면, $n \times n$ 행렬환($n \ge 2$)은 곱셈이 교환 법칙을 만족하지 않으므로 비가환환(non-commutative ring)에 해당한다.
분류와 포함 관계
가환환은 다음과 같은 특수한 부분 클래스들을 가지며, 이들 사이에는 포함 관계가 성립한다.
- 환 ⊋ 가환환 ⊋ 정역(integral domain) ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역(Krull domain) ⊋ 유일 인수 분해 정역(UFD) ∪ 데데킨트 정역(Dedekind domain) ⊋ 주 아이디얼 정역(PID) ⊋ 유클리드 정역(Euclidean domain) ⊋ 체(field)
가환대수학과의 관계
가환환과 그 위의 가군(module)을 연구하는 환론(ring theory)의 한 분야를 가환대수학(commutative algebra)이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학(algebraic geometry)과 대수적 수론(algebraic number theory)의 기초를 이룬다. 특히, 가환환의 범주 $\mathbf{CRing}$는 아핀 스킴(affine scheme)의 범주 $\mathbf{Aff}$의 반대 범주와 동치이며, 이 동치는 환의 스펙트럼(spectrum) $\operatorname{Spec}$에 의하여 주어진다. 이를 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.
범주론적 성질
가환환의 범주 $\mathbf{CRing}$은 환의 범주 $\mathbf{Ring}$의 충만한 부분 범주(full subcategory)를 이룬다. 시작 대상(initial object)은 정수환 $\mathbb{Z}$이고, 끝 대상(terminal object)은 자명환(trivial ring) 0이다. 곱(product)은 직접곱(direct product)으로 주어지며, 모든 극한(limit)은 환의 범주에서의 극한과 일치한다. 그러나 쌍대극한(colimit)은 일반적으로 다르다.
역사적 배경
가환환의 개념은 19세기 후반에서 20세기 초반에 걸쳐 정수론과 대수기하학의 발전과 함께 정립되었다. 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)와 다비트 힐베르트(David Hilbert)의 아이디얼 이론, 에미 뇌터(Emmy Noether)의 추상대수학적 접근을 통해 현대적인 가환환 이론이 체계화되었다.
