가쿠타니 사상(角谷寫像, 영어: Kakutani map)은 수학과 경제학에서 사용되는 개념으로, 정의역의 멱집합을 공역으로 갖는 함수 중 특정 조건을 만족하여 고정점을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는 함수이다. 이 개념은 일본 태생의 미국 수학자 가쿠타니 시즈오(Shizuo Kakutani, 1911~2004)의 이름에서 유래하였다.
정의
실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 V와 V의 공집합이 아닌 부분 집합 S가 주어졌을 때, 함수
f : S → Pow(S)
(여기서 Pow(S)는 S의 멱집합을 뜻함)가 다음 두 조건을 만족시키면 가쿠타니 사상이라고 한다.
- 각 s ∈ S에 대하여, f(s)는 공집합이 아니며 콤팩트 집합이고 볼록 집합이다.
- 각 열린집합 U ⊆ V에 대하여, {s ∈ S : f(s) ⊆ U}는 S의 열린집합이다.
가쿠타니 사상 f의 고정점은 (만약 존재한다면) s ∈ f(s)가 성립하는 점 s ∈ S로 정의된다.
가쿠타니 고정점 정리
가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리에 따르면, 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간 V 속의 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 S 위의 임의의 가쿠타니 사상은 고정점을 갖는다.
이 정리는 가쿠타니 시즈오가 1941년 유한 차원의 경우에 대하여 증명하였으며, 이후 어빙 레너드 글릭스버그(Irving Leonard Glicksberg)와 판지(Ky Fan, 번기)가 임의의 국소 볼록 공간으로 일반화하였다. 또한 샤우데르 고정점 정리와도 관련이 있어, 노름 공간 위에서의 가쿠타니 사상의 고정점 존재에 대한 일반화된 결과도 성립한다.
응용
가쿠타니 고정점 정리는 수리경제학과 게임 이론에서 중요한 도구로 사용된다. 특히 내시 균형(Nash equilibrium)의 존재성을 증명하는 데 활용되며, 이로 인해 경제학자들 사이에서도 널리 알려져 있다.
볼록성 조건의 중요성
가쿠타니 고정점 정리에서 각 원소의 상이 볼록 집합이어야 한다는 조건을 생략하면 정리가 성립하지 않는다. 예를 들어 특정 구간에서 상이 볼록하지 않은 함수 f(x) = {3/4} (0 ≤ x < 1/2), f(1/2) = {1/4, 3/4}, f(x) = {1/4} (1/2 < x ≤ 1)의 경우, f(1/2)는 닫힌집합이지만 볼록 집합이 아니며 고정점을 갖지 않는다.
