가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem, -定理) 또는 가우스-보네 공식(Gauss-Bonnet formula, -公式)은 미분기하학의 핵심적인 정리로, 곡면의 국소적인 기하학적 성질과 대역적인 위상수학적 성질을 연결한다. 구체적으로, 어떤 곡면의 가우스 곡률(Gaussian curvature)과 오일러 지표(Euler characteristic) 사이의 관계를 나타낸다. 가우스 곡률은 곡면의 휘어짐을 측정하는 기하학적 정보이고, 오일러 지표는 곡면의 구멍 개수 등 위상수학적 구조를 나타내는 정수값이므로, 이 둘을 연결한다는 점에서 수학적으로 매우 중요한 의미를 가진다.
역사. 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 이 정리의 내용을 알고 있었으나 출판하지 않았다. 이후 프랑스의 수학자 피에르 오시앙 보네(Pierre Ossian Bonnet)가 1848년에 특수한 경우에 대한 논문을 출판하면서 두 사람의 이름이 붙어 정리로 정립되었다.
수학적 표현. 경계가 ∂M인 콤팩트(compact)한 2차원 리만 다양체(Riemannian manifold) M에 대하여, K를 M의 가우스 곡률, $k_g$를 M의 측지적 곡률(geodesic curvature)이라 할 때 다음 적분식이 성립한다.
$$ \int_M K ; dA + \int_{\partial M} k_g ; ds = 2\pi \chi(M) $$
여기서 $dA$는 곡면의 면적소, $ds$는 경계선의 길이 요소, $\chi(M)$은 M의 오일러 지표이다. 만약 경계가 없는 곡면(폐곡면)이라면 좌변의 두 번째 항이 사라져 다음과 같이 간단해진다.
$$ \int_M K ; dA = 2\pi \chi(M) $$
의의. 이 정리는 국소적인 곡률 정보를 곡면 전체에 대해 적분하면 위상수학적 불변량인 오일러 지표가 나온다는 것을 보여준다. 이는 기하학과 위상수학을 연결하는 대표적인 결과로, 이후 천-가우스-보네 정리(Chern–Gauss–Bonnet theorem)로 고차원으로 일반화되었으며, 아티야-싱어 지표 정리(Atiyah–Singer index theorem) 등 더 추상적인 지표 이론(index theory)의 토대가 되었다. 조합론(combinatorics)에서도 이 정리의 이산적 유사 형태가 존재한다.
