가우스 함수(Gaussian function)는 실수 변수 $x$에 대하여 다음과 같은 형태의 함수를 말한다.
$$ f(x)=a,\exp!\left(-\frac{(x-b)^{2}}{2c^{2}}\right) $$
여기서 $a$는 진폭(amplitude), $b$는 평균(또는 중심) 위치, $c>0$는 표준편차(또는 폭)를 나타내는 실수 매개변수이다. $a>0$이면 함수는 위로 볼록한 종모양을, $a<0$이면 아래로 볼록한 종모양을 가진다.
정의 및 주요 성질
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정규화
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \exp!\left(-\frac{x^{2}}{2c^{2}}\right)dx = c\sqrt{2\pi} $$ 따라서 $a = \frac{1}{c\sqrt{2\pi}}$ 로 두면 면적이 1인 확률밀도함수, 즉 정규분포(Gaussian distribution)가 된다. -
대칭성
$f(x)$는 $x=b$를 중심으로 짝대칭(even symmetry)이다. 즉 $f(b+\Delta)=f(b-\Delta)$ 를 만족한다. -
푸리에 변환
가우스 함수는 푸리에 변환에 대해 자체적으로 형태가 유지된다.
$$ \mathcal{F}{f(x)}(k)=a,c\sqrt{2\pi},\exp!\left(-2\pi^{2}c^{2}k^{2}\right) ,e^{-2\pi i k b} $$ 이는 신호 처리와 양자역학에서 중요한 역할을 한다. -
미분
$$ \frac{d}{dx}f(x)= -\frac{x-b}{c^{2}},f(x) $$ 따라서 가우스 함수는 자신의 형태를 유지하면서 스칼라 배수와 선형 항으로 미분된다.
역사
가우스 함수는 독일의 수학자·천문학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777–1855)의 이름을 따서 명명되었다. 가우스는 1809년에 오차분포에 관한 연구에서 현재 정규분포로 알려진 함수 형태를 제시했으며, 이후 물리학·통계학·수학 전반에 걸쳐 널리 활용되었다.
주요 응용 분야
| 분야 | 구체적 활용 예시 |
|---|---|
| 통계학 | 정규분포(확률밀도함수) |
| 신호·이미지 처리 | 가우시안 블러, 잡음 제거, 스무딩 필터 |
| 물리학 | 열 전도 방정식의 해, 파동 패킷, 양자역학에서 입자 파동함수 |
| 천문학 | 관측 장비의 점 광원(점광원, PSF) 모델링 |
| 머신러닝 | 커널 함수를 이용한 서포트 벡터 머신(SVM) |
| 통신공학 | 가우시안 잡음 모델링 |
수학적 일반화
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다변량 가우스 함수
$$ f(\mathbf{x}) = a,\exp!\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) $$
여기서 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}$, $\boldsymbol{\mu}$는 평균 벡터, $\Sigma$는 양정(positive‑definite) 공분산 행렬이다. -
가우시안 커널
머신러닝에서 거리 기반 학습에 사용되는 커널 함수로,
$$ K(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \exp!\left(-\frac{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{2}}{2\sigma^{2}}\right) $$
와 같이 정의된다.
참고 문헌
1. J. Fischer, Mathematical Statistics, Springer, 2010.
2. A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th ed., McGraw‑Hill, 2002.
3. R. G. Baraniuk, “The Gaussian Function in Signal Processing,” IEEE Signal Processing Magazine, vol. 35, no. 1, pp. 84‑98, 2018.
(※ 본 문서는 백과사전식 객관적 서술을 목표로 하며, 최신 연구 동향에 관한 세부 내용은 별도 전문 서적·논문을 참고하기 바란다.)