가우스 적분은 실수축 위에서 정의된 특수한 적분으로, 무한 구간 $(-\infty, \infty)$에서 지수 함수 $e^{-x^{2}}$를 적분한 값을 말한다. 가장 기본적인 형태는
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}},dx = \sqrt{\pi} $$
이며, 이는 복소평면 상의 경로 적분과 다변수 적분을 이용한 표준적인 증명으로 알려져 있다. 가우스 적분은 확률론·통계학·물리학·수학 등 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
정의와 기본 성질
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정의
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}},dx $$ 여기서 $e^{-x^{2}}$는 실수 $x$에 대해 양의 실수 값을 가진 연속 함수이다. -
결과
$$ I = \sqrt{\pi} $$ 따라서
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}},dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\qquad (a>0) $$ 와 같이 상수 $a$에 대한 일반화도 바로 얻을 수 있다. -
대칭성
함수 $e^{-x^{2}}$는 짝함수이므로,
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}},dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}},dx $$ -
다변수 확장
$$ \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{-| \mathbf{x} |^{2}},d\mathbf{x} = \pi^{n/2} $$ 로, $n$차원 유클리드 공간에서의 적분값은 $\pi^{n/2}$가 된다.
증명 개요
전형적인 증명은 다음과 같은 두 단계로 이루어진다.
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제곱 적분
$$ I^{2}= \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}dx\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}dy\right) = \iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})},dx,dy $$ -
극좌표 변환
$$ \iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})},dx,dy = \int_{0}^{2\pi}!!d\theta\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}r,dr = 2\pi\left[ -\frac12 e^{-r^{2}} \right]_{0}^{\infty} = \pi $$ 따라서 $I^{2}=\pi$이 되고, $I>0$이므로 $I=\sqrt{\pi}$가 된다.
응용 분야
- 정규분포 : 확률밀도함수 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^{2}/(2\sigma^{2})}$ 의 적분값이 1이 되도록 하는 데 가우스 적분이 사용된다.
- 물리학 : 양자역학·통계역학에서 파동함수·볼츠만인자 등에 등장한다.
- 신호처리 : 가우시안 필터의 정규화 상수 산출에 이용된다.
- 수학 : 오류함수 $\operatorname{erf}(x)$·감마함수·베타함수와 같은 특수함수의 정의에 기본이 된다.
관련 용어
- 오류함수 (Error function, erf)
$\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}dt$ - 다변수 가우시안 적분
$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{-\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}},d\mathbf{x} =\sqrt{\frac{\pi^{n}}{\det A}}$ (단, $A$는 양정정치 행렬)
참고문헌
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (편집). Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1965.
- G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1938.
- Wikipedia contributors, “Gaussian integral,” Wikipedia, The Free Encyclopedia, 접속일 2026‑06‑14.
이 문서는 가우스 적분에 대한 일반적인 정의와 주요 성질을 요약한 것으로, 보다 상세한 증명 및 응용 예시는 전문 수학·물리 교재를 참고한다.