가법 함수(加法函數, 영어: additive function)는 함수 $f$가 그 정의역의 모든 $x, y$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수를 말한다.
$f(x+y) = f(x) + f(y)$
이러한 함수를 코시 함수 방정식(Cauchy's functional equation)을 만족한다고도 한다. 일반적으로 가법 함수의 정의역과 공역은 덧셈 연산이 정의된 군(群, group) 또는 벡터 공간이다. 가장 흔한 경우는 실수에서 실수로의 함수 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$이다.
주요 특징 및 성질:
- 선형 함수와의 관계: 만약 가법 함수 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 연속이거나, 단조(monotonic)이거나, 특정 구간에서 유계(bounded)인 경우, 이 함수는 반드시 선형 함수인 $f(x) = cx$ 꼴을 가진다. 여기서 $c$는 상수이다. 이는 코시 함수 방정식의 중요한 결과 중 하나이다. 이 경우 $f(qx) = qf(x)$가 모든 유리수 $q$에 대해 성립하며, 연속성을 통해 실수 $c$에 대해서도 $f(cx) = cf(x)$가 성립한다.
- 불연속 가법 함수: 위에서 언급된 연속성, 단조성, 유계성 등의 추가 조건이 없는 경우, $f(x)=cx$ 꼴이 아닌 불연속적인 가법 함수도 존재한다. 이러한 함수는 실수를 유리수 벡터 공간으로 보고 하멜 기저(Hamel basis)를 사용하여 구성할 수 있으며, 그 그래프는 2차원 평면상에서 조밀(dense)하게 분포하는 특성을 보인다.
- 유리수 인자에 대한 성질: 가법 함수는 모든 유리수 $q$에 대하여 $f(qx) = qf(x)$를 만족한다. 이는 $f(0)=0$, $f(nx)=nf(x)$ (정수 $n$), $f(x/m) = f(x)/m$ (정수 $m e 0$) 등을 이용하여 증명할 수 있다. 그러나 실수 인자에 대해서는 $f(cx) = cf(x)$가 항상 성립하지는 않는데, 이는 선형 함수(linear function)와 가법 함수의 중요한 차이점이 된다. 선형 함수는 가법성($f(x+y)=f(x)+f(y)$)과 동차성($f(cx)=cf(x)$)을 모두 만족하는 함수를 의미한다. 즉, 모든 선형 함수는 가법 함수이지만, 모든 가법 함수가 선형 함수인 것은 아니다.
응용:
가법 함수는 수학의 다양한 분야에서 중요한 개념으로 사용된다. 예를 들어, 측도론(measure theory)에서 측도(measure)는 가산 가법성(countable additivity)이라는 더 강력한 성질을 가지는 함수이며, 이는 기본적으로 가법성의 확장이다. 또한, 정수론(number theory)에서는 두 서로소인 정수 $m, n$에 대해 $f(mn)=f(m)+f(n)$을 만족하는 함수를 "가법 함수"라고 칭하기도 하는데, 이는 위에서 설명한 대수적 정의와는 맥락이 다르므로 혼동하지 않도록 주의해야 한다.