정의
最小三倍完全数(최소 삼배 완전수)는 “삼배 완전수(3-배 완전수, 3‑multiply perfect number)” 중에서 가장 작은 자연수를 말한다. 삼배 완전수는 약수의 합 σ(n)이 원래 수 n의 3배가 되는 수이며, 즉
$$ \sigma(n) = 3n $$
을 만족하는 n을 의미한다. 여기서 σ(n)은 n의 모든 양의 약수를 포함한 합이다.
가장 작은 삼배 완전수
가장 작은 삼배 완전수는 120이다.
- 약수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
- 약수의 합: $\sigma(120)=1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360$
- 360 = 3 × 120이므로 120은 삼배 완전수이다.
다른 삼배 완전수로는 672, 30240, 32760, 523776 등 여러 개가 알려져 있다. 이들 역시 σ(n)=3n을 만족한다.
배수 완전수와의 관계
완전수는 σ(n)=2n을 만족하는 2‑배 완전수이다. 배수 완전수(m‑배 완전수)는 일반적으로 σ(n)=m n을 만족하는 수를 일컫으며, m=1이면 1‑배 완전수(자기 자신을 제외한 약수의 합이 0인 경우), m=2이면 전통적인 완전수, m=3이면 삼배 완전수, m=4이면 사배 완전수 등으로 구분된다.
연산적 성질
- 삼배 완전수는 보통 여러 소인수의 곱으로 표현된다. 예를 들어 120 = $2^3 \times 3 \times 5$이다.
- σ 함수의 곱셈성에 따라, $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$ 형태의 수에 대해 σ(n) = $\prod_{i=1}^{k} \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$ 이다. 이를 이용해 σ(n)=3n이 되는 조합을 탐색한다.
역사 및 연구
배수 완전수는 고대부터 연구되어 왔으며, 특히 3‑배 완전수는 19세기 이후 수학자들이 체계적으로 조사하였다. 현재까지 알려진 3‑배 완전수는 유한 개가 아니라 무한히 많을 가능성이 제기되고 있으나, 완전한 증명은 아직 없으며 이는 “배수 완전수의 무한성” 문제와 연관된 연구 분야에 속한다.
참고
- OEIS A007691: 3‑multiply perfect numbers.
- R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 2004.
※ 위 내용은 기존 수학 문헌 및 온라인 데이터베이스에 기반한 객관적인 정보이며, 추가적인 최신 연구 결과가 있을 경우 업데이트될 수 있다.
